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7 Opérateurs sur les Espaces de Hilbert

Exercice 30  
Soit $ H$ un espace de Hilbert et $ p\; \in \; L(H)\; $ une projection orthogonale.
  1. Si $ \; p\; $ est non nulle et n'est pas l'identité sur $ H\; ; $ montrer que le spectre de $ \; p\; , \sigma (p)\; , $ est $  \sigma (p)\; =\; \{ 0\; , 1\} \; .$

  2. Soit $ \; u\; \in \; L(H)\; $ tel que $ \; Im(p)=Ker(u)\; .$ Prouver que $ Im(u)$ est fermé s.s.s. il existe une constante $ c_0\; >\; 0\; $ tel que

    $\displaystyle \forall \; x\; \in \; H\; ,\quad \quad c_0 \Vert x-p(x)\Vert
\; \leq \; \Vert u(x)\Vert \; .$

Exercice 31  
Soit $ H$ un espace de Hilbert et soit $ \; U\; \in \; L(H)\; .$
$ 1)\; $ Etablir les équivalences entre $ i), ii), iii)$ et quand $ H$ est séparable, $ iv)$ et $ v)\; .$

$ i)   U $ est un opérateur unitaire: $  U^{-1}\; =\; U^\star \; .$

$ ii)   U $ est un isomorphisme isométrique.

$ iii)   U $ est susjectif et conserve le produit scalaire:

$ \quad \quad U(H)=H  $ et $ \forall \; x\; , y\; \in \; H\; , (U(x); U(y))=(x;y)\; .$

$ iv)   U $ transforme une base hilbetienne de $ H$ en une base hilbertienne de $ H\; .$

$ v)   U $ transforme toute base hilbetienne de $ H$ en une base hilbertienne de $ H\; .$
$ 2)\; $ Si $ U$ est unitaire prouver que son spectre est contenu dans le cercle unité.

Exercice 32  
Soit $ H$ un espace de Hilbert et soit $ u\in L(H).$

i) Si $ u^{\star }=u$ montrer que $  u=0$ s.s.s. $  <u(x)\vert x>=0, \forall x\in H.$

(Considérer $ <u(x+y)\vert x+y>$ pour tout x et y dans H).

ii) Montrer qu'il existe un unique couple $ (v,w)$ dans $ L(H)$ tel que

$  v^{\star }=v, w^{\star }=-w$ et $ u=v+w.$

Que peut-on dire de $ <w(x)\vert x>$ si $ x\in H$ et $ w$ comme ci-dessus?

Que peut-on dire de $ iw$ , de $ iv?$

iii) Si H est un espace de Hilbert complexe et si $  u\in L(H)$ , montrer que

$  u=0$ s.s.s. $  <u(x)\vert x>=0, \forall x\in H.$

Si le corps de H est $ {\mathbb{R}},$ trouver un contre exemple de $ u$ tel que

$ u\; \neq \; 0\; ;\quad \quad <u(x)\vert x>=0, \forall  x\in H\; .$

Exercice 33  
Soit $ H$ un espace de Hilbert. Soit $ u\in {\cal L}(H)$ tel que $  u=u^{\star }$ et $  (u(x);x)\geq 0, \forall x\in H.$

i) Montrer que $  \vert (u(x);y)\vert ^2\leq (u(x);x)(u(y);y), \forall (x,y)\in H^2.$
(Remarquer que $ (x,y)\; \to \; (u(x);y)\; $ définit une forme hermitienne $ \geq 0$ et lui appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz).

ii) Si $  (u(x);x)>0, \forall x\neq 0,$ montrer que $  (H,\P .\P _u)$ est espace pré-hilbertien, où

$  \P x\P _u=(u(x);x)^{1/2}, \forall x\in H.$

Comparer ces 2 normes sur H. Donner un exemple où $  (H,\P .\P _u)$ n'est pas complet.

iii) Soit $  v\in {\cal L}(H), t.q.  Ker(v)=\{ 0\} .$ On définit $  \P x\P _{2,v}=\P v(x)\P , \forall x\in H.$

Montrer que $  (H,\P .\P _{2,v})$ est un espace pré-hilbertient, puis qu'il est complet
s.s.s. $  Im(v)$ est fermé. (On rappelle que si $ v\in L(H)\; $ alors

$ \{ Ker(v)=\{ 0\}$ et $  Im(v)$ fermé $ \displaystyle \} \; \Leftrightarrow \; \{ \exists \; C_1 >0\; t.q. \;
 \forall \; x\in H\; , \
\frac{1}{C_1} \Vert x\Vert \leq \Vert v(x)\Vert \; \} \; ).$

En déduire que $  \P .\P _{2,v}$ et $  \P .\P$ sont équivalentes s.s.s. $  Ker(v)=\{ 0\} $ et $  Im(v)$ est fermé.

Exercice 34  
Soient $  (H_1, ( . ;  . )_1)$ et $  (H_2, ( . ;  . )_2)$ deux espaces de Hilbert.

i) Justifier que $  (H_1\times H_2, < . \vert . >)$ est un espace de Hilbert,
$ <(x_1,x_2)\vert(y_1,y_2)>=(x_1;y_1)_1+(x_2;x_2)_2.$

On suppose que $ H_1=H_2=H$ (avec le même produit scalaire noté $ ( . ; . )  ).$

ii) Soit $ V$ l'opérateur sur $ H^2$ défini par $ V((x,y))=(-y,x), \forall (x,y)\in H^2.$

Justifier que V est un opérateur unitaire. Faire la vérification en calculant $ V^{\star }$ et $ V^{-1}.$

iii) Soit $ T\in L(H)$ et soit $ \Gamma $ son graphe et $ \Gamma _{\star }$ celui de $ T^{\star }.$ Justifier que $ \Gamma $ et $ \Gamma _{\star }$ sont 2 sous-espaces vectoriels. Prouver que $ \Gamma _{\star }$ est l'orthogonal de $ V(\Gamma ).$

iv) Montrer que $  \forall  (a,b)\in H^2, \
\exists !  (x,y) \in  H^2  t.q. -T(x)+y=a$ et $ x+T^{\star }(y)=b.$

On note alors $  x={\widetilde B}((a,b)) $ et $  y={\widetilde C}((a,b)).$ Vérifier que $  {\widetilde B}$ et $  {\widetilde C}$ définissent ainsi des applications linéaires de $ H^2$ vers $ H$ et qu'elles sont continues et plus précisement que leur norme est $ \leq 1.$

On considère les opérateurs sur H $  b \mapsto  {\widetilde B}(0,b)$ et $  b \mapsto  {\widetilde C}(0,b)$ notés B et C.

v) Montrer que $  C=TB$ puis que B est inversible et que $  B^{-1}=I+T^{\star }T.$

En déduire que B est auto-adjoint et que son spectre est dans $ [0,1]$ .

(On pourra établir avant que le spectre de son inverse est dans $ [1,+\infty [$ ).

vi) Montrer que $ C$ est auto-adjoint si T l'est.

Exercice 35  
Soit $  H=\ell^2({\mathbb{N}})$ et $ u$ un opérateur linéaire sur $ H$ tel qu'il existe une suite $  a=(a_n)_n \in {\mathbb{C}}^{{\mathbb{N}}}$ de façon à ce que $   \forall x=(x_n)_n \in l^2({\mathbb{N}}),  u(x)=(a_nx_n)_n.$

a) Justifier que $ u$ est continu si et seulement si la suite $  a=(a_n)_n\; \in \; \ell^\infty (\mathbb{N})\; .$

b) On suppose $ a\in \ell^\infty (\mathbb{N})\; .$ Quel est le spectre de $  u?$ A quelle condition $ u$ est-il auto-adjoint?

Exercice 36  
Soit $ H = L^{2}(I)\; , I=]a,b[$ avec $ -\infty <a<b<\infty$ .

i) Soit $ s\in C([a, b])$ , une fonction réelle. On définit, pour $ f\; \in \; H\; , (Sf)(x) = s(x) f(x)\; .$
Vérifier que $ \displaystyle S\; \in \; {\mathcal L}(H)\; ,\quad S^\star =S\; $ et $ \displaystyle \sigma (S) \; =\; [ \min_{x\in [a,b]}
s(x), \max_{x\in[a,b]}s(x)]$ .

(S'il existe $ x_0$ tel que $ s(x_0)=\lambda $ et si $ \lambda \in \rho (S)$ , on montrera qu'il existe $ C>0$ tel que $ \Vert (s(x)-\lambda )^{-1}f\Vert _{L^2(I)}\leq C\Vert f \vert _{L^2(I)},\
 \forall f\in L^2(I)$ et en choisissant convenablement des fonctions $  f,$ on en déduira une contradiction).

ii) Montrer que $ \lambda \in\sigma(S)$ est une valeur propre de $ S$ s.s.s. l'ensemble
$ \{x\in[a,b]; s(x) =\lambda\}$ est de mesure non-nulle.

Exercice 37  
Soit $ H$ un espace de Hilbert et soit $  u\in L(H)$ unitaire.

i) Montrer que $ [Im(I-u)]^{\bot }=Ker(I-u).$

ii) Soit p la projection orthogonale sur $ Ker(I-u).$

Soit $ x\in H$ tel que la suite $  \displaystyle ({1\over {n+1}}\sum _{k=0}^{n}u^k(x))_n$ soit convergente. Monter que sa limite n'est rien d'autre que $  p(x).$

iii) On suppose simplement $  x\in  Im(I-u).$ Montrer que la suite $  \displaystyle ({1\over {n+1}}\sum _{k=0}^{n}u^k(x))_n$
est convergente. Montrer que $ \forall x\in H$ la suite $  \displaystyle ({1\over {n+1}}\sum _{k=0}^{n}u^k(x))_n$ converge vers $  p(x).$

iv) Soit $ f\in L^{2}_{loc}(\mathbb{R})$ tel que $ f(x+1)=f(x)\; ,$ et soit $ \alpha \; \in \; \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\; .$

Prouver que $ \displaystyle  \lim_{N\to +\infty} \int_0^1 \vert
c_0 \; -\; \frac{1}{N+1} \sum_{k=0}^{N}f(x+k\alpha )\vert^2 dx \; =\; 0\; ,$ $ \displaystyle c_0=\int_0^1 f(x) dx\; .$

v) Soit $  v\in L(H)$ auto-adjoint: $ v^\star =v\; .$

a) Si $  z\in {\mathbb{C}}$ et $ Im(z)\neq 0,$ montrer que $ v+zI$ est un isomorphisme et majorer la norme de son inverse en fonction de $ Im(z).$

b) Montrer que $  u=(v-iI)(v+iI)^{-1}$ est unitaire.
(u est appelé ``transformation de Caley'' de v).

c) Vérifier que $ u-I$ est un isomorphisme et que $  v=i(I+u)(I-u)^{-1}.$

d) Réciproquement si $  u\in L(H)$ est unitaire et tel que $ u-I$ soit un isomorphisme, montrer que u est la transformation de Caley d'un opérateur auto-adjoint.

Exercice 38  
Soit $ {\mathcal K}(H)$ l'espace des opérateurs compacts sur un espace de Hilbert $ H$ . Soit $ T\in{\mathcal K}(H)$ .

(a). Démontrer que Im $ (I-T)$ est fermé dans $ H$ .

(b). Soit $ \lambda \in {\mathbb{C}}\setminus \{0\}$ . Démontrer que $ \lambda$ est une valeur propre de $ T$
s.s.s. $ \overline{\lambda}$ est une valeur propre de $ T^{\star }$ .

(c). Montrer que si $ \lambda \in\sigma(T)\setminus \{ 0\} \; ,$ alors $ \lambda$ est une valeur propre de $ T$ et $ \displaystyle dim \left ( \cup_{k=1}^{+\infty } Ker(T-\lambda I)^k \right ) \; <\; +\infty \; .$

En déduire que, quand dim $ H =\infty$ , alors $ 0\in\sigma(T)$ .

Exercice 39  
Soit $ T\in {\mathcal L}(H)$ un opérateur autoadjoint sur un espace de Hilbert $ H\; .$

i) Justifier que $ \; \lambda \; \in \; \rho (T)=\mathbb{C}\setminus \sigma (T)\; $ s.s.s.

$ \exists \; c(\lambda) \; >\; 0 t.q. \
\forall \; x\; \in \; H\; ,\quad c(\lambda ) \Vert x\Vert \; \leq \; \Vert T(x) - \lambda x\Vert \; ; $ et que $ \; \sigma (T)\; \subset \; \mathbb{R}\; .$

ii) Démontrer que $ \Vert T\Vert \; =\; \sup \{ \vert(Tx; x)\vert;  \Vert x\Vert =1\} $ .
(Pour majorer $ \Vert T\Vert \; ,$ remarquer que $  4Re(T(x);y)\; =\; (T(x+y);x+y)\; - \; (T(x-y); x-y)$ et prendre $ \Vert x \Vert =1, y=T(x)/\Vert T(x)\Vert \; )\; .$

iii) On définit $ m(T) =\inf
\{ (Tx ; x);  \Vert x\Vert =1\}$ et $ M(T) =
\sup \{ (Tx ; x); \Vert x\Vert =1\}$ .

Prouver que $ \sigma (T)\; \subset \; [m(T), M(T)]$ . (Remarquer que, si

$ \lambda \; \in \; \mathbb{R}\setminus [m(T), M(T)]\; , \min \{ \vert\lambda -...
...bda -M(T)\vert\} \Vert x\Vert ^2 \; \leq \; \vert(T(x)-\lambda x ; x)\vert\; .)$

iv) On veut prouver que $ m(T) \in \sigma (T)$ et $ M(T) \in \sigma (T)$ .

On pose $ u=T-m(T)id_H$ puis $ u=M(T)-T\; .$

a) Vérifier que $ (x,y)\; \to \; (u(x); y)$ est une forme hermitienne $ \geq 0\; .$

b) Appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz comme dans l'Exercice 33, à $ (u(x);y)\; ,$
avec $ y=u(x)$ prour en déduire que $ \displaystyle \Vert u(x)\Vert \; \leq \; \sqrt{\Vert u\Vert } \sqrt{(u(x);x)} \; .$

c) Conclure que $ m(T), M(T)\; \in \; \sigma (T)\; .$

v) Déduire de ce qui précède que $ \Vert T\Vert = \sup \{ \vert\lambda\vert; \lambda \in \sigma(T)\} \; .$

vi) Justifier que $ \sigma (T) =\{0\}\; \Leftrightarrow \; T =0\; .$

Exercice 40  

$ i)\; $ Montrer que $ K\; \in \; L(L^2(\mathbb{R}_+)\; ; L^2(\mathbb{R}))\; ,$ $ \; K(f)(x)=e^{x/2} f(e^x)\; ,$
puis que c'est un isomorphisme isométrique.

$ ii)\; $ Soit $ g\; \in \; L^1(\mathbb{R})\; , g(x)=e^{-x/2}\chi_{\mathbb{R}_+}(x)\; .$ Déterminer $ \hat{g}\; .$

$ iii)\; $ Pour tout $ f\; \in \; L^2(\mathbb{R}_+)\; ,$ on note $ T(f)=K^{-1}(K(f)\star g)\; .$

Justifier que $ T\; \in \; L(L^2(\mathbb{R}_+))\; $ et que $ \Vert T\Vert \; \leq \; 2\; .$

$ iv)\; $ Etablir $ \displaystyle T(f)(x)\; =\; \frac{1}{x}\int_{0}^{x} f(t)dt \;
\in \; C^0(]0, +\infty [)$ et $ \displaystyle \lim_{x\to +\infty } T(f)(x)=0\; .$

Exercice 41  

Soit l'espace de Hilbert sur $ \; \mathbb{C}\; ,\quad H\; =\; \ell^2(\mathbb{N})\; .$ Pour tout $ \; X=(x_n)_{n\in \mathbb{N}}\; \in \; H\; ,$
on note $ D(X)\; =\; Y\; =\; (y_n)_{n\in \mathbb{N}}\; ; y_0\; =\; 0\; $ et quand $ \; n\; \geq \; 1\; , y_n\; =\; x_{n-1} \; ;$
on note aussi $ \; G(X)\; =\; Z\; =\; (z_n)_{n\in \mathbb{N}}\; ; z_n\; =\; x_{n+1}\; .$

  1. Prouver que $ \; D\; $ définit une une isomértrie linéaire sur $ \; H\; $ et non surjective.

  2. Prouver que $ \; G\; $ définit une opérateur linéaire et continue sur $ \; H\; $ et non injective.

  3. Prouver que $ \; D^\star \; =\; G\; .$ En déduire la norme de $ \; G\; .$

  4. Prouver que $ \; D\; $ n'a pas de valeurs propres.

  5. Soit $ \; \lambda \; \in \; \mathbb{C}\;, \vert\lambda \vert\; < \; 1\; $ et soit $ \; V\; =\; (\lambda ^n)_{n\in \mathbb{N}} \; .$ Justifier que $ V\; \in \; H\; .$

    Déterminer $ \; G(V)\; $ en fonction de $ \; V\; $ et de $ \; \lambda \; .$

    En déduire que le spectre de $ \; G\; $ est $ \; \sigma (G)\; =\; \{ z\; \in \; \mathbb{C}\; ; \vert z\vert\; \leq \; 1\; \} \; .$

  6. Quel est le spectre de $ \; D\; ?$


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Copyright © 2010-08-20
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