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Orthogonalité, orthogonalisation de Gram-Schmidt

Définition 4.7   Soit $(E\; ,\; \langle .\; \vert\; . \rangle ) $ un espace vectoriel euclidien. Deux vecteurs de $E,\ \ \vec{a},\ \vec{b}$ sont dits orthogonaux s.s.s. $\ \langle \vec{a}\vert\vec{b}\rangle =0.$

Définition 4.8  

Soit ${\mathcal B}=\{ \vec{e}_{1},...,\vec{e}_{k}\} $ un système de vecteurs
d'un espace euclidien $ (E,\langle . \vert . \rangle ).$

On dit que ${\mathcal B}$ est un système orthogonal s.s.s. on a

\begin{displaymath}\langle \vec{e}_{i}\; \vert\; \vec{e}_{j}\rangle \; =\; 0\; ,\qquad {\rm { si}}\qquad
i\neq j\; .\end{displaymath}

Si de plus $\parallel \vec{e}_{j}\parallel =1,\ \forall j,$ on dit alors que

${\mathcal B}=\{ \vec{e}_{1},...,\vec{e}_{k}\} $ est un sytème de vecteurs orthonormés.

Un système de vecteurs de $E,\ {\mathcal E}=\{ \vec{e}_{1},...,\vec{e}_{n}\} $ est dit
une base orthonormée s.s.s. c'est une base de E
qui est aussi un systéme orthonormé.

Remarque 4.9   Soit $ (E,\langle . \vert . \rangle )$ un espace euclidien de dimension $n.$

Un système de vecteurs de $E,\ {\mathcal B}=\{ \vec{e}_{1},...,\vec{e}_{k}\}$ est orthonormé
s.s.s. on a $\ \ \ \langle \vec{e}_{i}\; \vert\; \vec{e}_{j}\rangle \; =\; \delta_{i,j}\; =\;
\left \{ \matrix{ 0,\ si \ i\neq j \cr 1, \ si\ i=j}\right . $

Si un système de vecteurs de $E,\ {\mathcal V}=\{ \vec{v}_{1},...,\vec{v}_{m}\} $ est orthonormé,
alors c'est un système libre.

Théorème 4.10   Soit $ (E,\langle . \vert . \rangle )$ un espace euclidien de dimension $n.$

Alors $\; E\; $ admet une base orthonormée.

Un système de $\; n\; $ vecteurs de $\; E\; ,\
\; {\mathcal E}=\{ \vec{e}_{1},...,\vec{e}_{n}\} \; $ est une base orthonormée s.s.s. il vérifie:

\begin{displaymath}\langle \vec{e}_i \; \vert \; \vec{e}_j \rangle \; =\; \delta...
... 0, & si & i\neq j \\ 1, & si & i=j
\end{array} \right . \; .\end{displaymath}

Théorème 4.11   Soit $ (E,\langle . \vert . \rangle )$ un espace euclidien de dimension $n.$

La matrice de passage $\; P\; $ entre deux bases orthonormées de $\; E\; ,
\ {\mathcal E}\ \mathrm {et}\ {\mathcal B}\; $ vérifie

\begin{displaymath}P^{-1}\; =\; ^t P\; .\end{displaymath}

Définition 4.12   Si $A\subset E,$

\begin{displaymath}A^{\bot }=\{ \vec{x}\; \in \; E;\
\forall \; \vec{a}\; \in \; A,\ \
\langle \vec{x}\vert\vec{a}\rangle =0, \} \end{displaymath}

est appelé l'orthogonal de A.

Remarque 4.13   Soit $(E\; ,\; \langle .\; \vert\; . \rangle ) $ un espace vectoriel euclidien de dimension finie et soit $A\subset E.$ Alors on a les propriétés suivantes:


\begin{displaymath}
A^{\bot }\ est\ un \ sous-espace \
vectoriel\ de\ E
\end{displaymath} (4.11)


\begin{displaymath}
E^{\bot }=\{ \vec{0}\} \ \ {\rm {et}} \ \
\{ {\vec 0}\} ^\bot =E\end{displaymath} (4.12)


\begin{displaymath}
A\subset (A^{\bot })^{\bot }
\end{displaymath} (4.13)


\begin{displaymath}
B\subset A\ \Rightarrow \ A^{\bot }\; \subset \; B^{\bot }
\end{displaymath} (4.14)


\begin{displaymath}
A^{\bot }=[Vec(A)]^{\bot }
\end{displaymath} (4.15)


\begin{displaymath}
A^{\bot }=\{ 0\} \ \Longrightarrow \ Vec(A)=E
\end{displaymath} (4.16)

Théorème 4.14  

Soit $(E\; ,\ \langle . \; \vert\; . \rangle )$ un espace euclidien de dimension finie.

Si F est un sous-espace vectoriel de E, alors $F^{\bot }$ est un sous-espace vectoriel de E, complémentaire de E: $\ \ \ E=F\oplus F^{\bot }.$

On dit que E est somme-othogonal de F et $F^{\bot }.$

On a $\ \ \ (F^{\bot })^{\bot }=F.$

$\ \forall \; \vec{x}\; \in \; E,\ \exists !\;
(\vec{y},\vec{z})\; \in \; F\tim...
...
\vec{x}=\vec{y}+\vec{z},\ \ (\; \langle \vec{y}\vert\vec{z}\rangle =0\; )\; ,$
et on a l'égalité de Pythagore $\ \ \Vert \vec{x}\Vert ^2=\Vert \vec{y}\Vert ^2+\Vert \vec{z}\Vert ^2\; .$

Preuve 1). On sait d'après la propriété (4.2) de la Remarque précédente que

$F^{\bot }$ est un sous-espace vectoriel de E.

2). Vérifions que $F\cap F^{\bot }=\{ \vec{0} \} .$
Si $\ \vec{x}\; \in \; F\cap F^{\bot },$ alors $\ \langle \vec{x}\vert\vec{x}\rangle =0,$ ce qui signifie que $\vec{x}=\vec{0}.$

3). Prouvons que $(F\oplus F^{\bot })^{\bot }=\{ \vec{0} \} . $

Comme $F\subset F\oplus F^{\bot },$ alors $ (F\oplus F^{\bot })^{\bot }\subset F^{\bot }$
et que $\ F^\bot \subset F\oplus F^\bot \; ,$ on trouve que $\ \left ( F\oplus F^\bot \right )^\bot \subset F\cap F^\bot
=\{ \vec{0}\} \; :$
d'où : $\ (F\oplus F^{\bot })^{\bot }=\{ \vec{0} \} \; . $ Ce qui signifie d'après la propriété (4.7) de la Remarque précédente que $\ \ F\oplus F^{\bot }=E.$

Remarque 4.15   On a déjà vu que, si E est un espace vectoriel de dimension $n,$ un sous-espace vectoriel H de E est dit un hyperplan s'il est de dimension $n-1. $
(Si $n=3,$ un hyperplan H est en fait un plan, c'est à dire que $dim(H)=2).$

Si $ (E,\langle . \vert . \rangle )$ est euclidien, alors pour tout hyperplan H de E,
il existe $\vec{e}\; \in \; E\setminus \{ \vec{0}\} $ tel que $\ \ H^{\bot }=Vect\{ \vec{e}\} .$

$\vec{e}$ est appelé vecteur normal à H. On le choisit en général de norme $1,$

$\ \Vert \vec{e} \Vert =1,$ on dit alors que $\vec{e}$ est une normale unitaire de H.

Exemple 4.16   .

1) Une droite D dans le plan ${\mathbb{R}}^2\ $ et passant par l'origine a une équation de la forme

\begin{displaymath}D=\{ (x,y)\; \in \; {\mathbb{R}}^2;\ ax+by=0\} \; .\end{displaymath}

Le vecteur $\ \vec{v}=\pmatrix{a \cr b} $ est supposé non nul, c'est une normale à D,
et l'une des deux normales unitaires à D est

\begin{displaymath}\ \vec{n}={1\over {\Vert \vec{v}\Vert }} \vec{v}
={1 \over {...
...
D=[Vec\{ \vec{v}\} ]^{\bot }=[Vec\{ \vec{n}\} ]^{\bot } )\; .\end{displaymath}

Le vecteur directeur de D est le retourné de $\ \vec{v},$

$\ \vec{w}=\pmatrix{-b \cr a}\ (\; \langle \vec{v}\; \vert\; \vec{w}\rangle
=0\qquad {\rm {et}}\qquad
\vec{v}\wedge \vec{w}=a^2+b^2\; )\; .$
L'équation paramétrique de D est $\ \ D=\{ t\vec{w};\ t\; \in \; {\mathbb{R}}\} \; .$
On peut prendre le retourné de $\vec{n}$ comme vecteur directeur de D.

2) Un plan P de ${\mathbb{R}}^3$ qui passe par l'origine a
une équation de la forme

\begin{displaymath}P=\{ (x,y,z)\; \in \; {\mathbb{R}}^3;\ ax+by+cz=0\} \; .\end{displaymath}

Le vecteur $\ \vec{v}=\pmatrix{a \cr b \cr c} $ est supposé non nul, c'est une normale à P, et l'une des normales unitaires à P est

\begin{displaymath}\ \vec{n}={1\over {\Vert \vec{v}\Vert }} \vec{v}
={1 \over {...
...
(P=[Vec\{ \vec{v}\} ]^{\bot }=[Vec\{ \vec{n}\} ]^{\bot } )\; .\end{displaymath}

Pour trouver une base orthonomée de $P,\ {\mathcal B}_P=\{ \vec{i},\; \vec{j}\} ,$ on considère le cas le moins simple où $\vec{v}$ a au moins deux composantes non nulles, par exemple $a\neq 0,\ c\neq 0,$ on a alors $\displaystyle \ \vec{i}={1 \over {\sqrt {a^2+c^2}}}\pmatrix{-c \cr 0 \cr a}
\; \in \; P\; $
et on prend $\ \vec{j}=\vec{n}\wedge \vec{i},$ comme ça, on aura en plus $\ {\mathcal C}=\{ \vec{i},\; \vec{j},\; \vec{n}\} $
qui sera une base orthonormée directe de $\ {\mathbb{R}}^3.$

3) Une droite D dans le plan ${\mathbb{R}}^3$ et passant par l'origine a une équation de la forme

\begin{displaymath}D=\{ (x,y,z)\; \in \; {\mathbb{R}}^3;\ ax+by+cz =a'x+b'y+c'z=0\} ,\ \
D=P\bigcap P'\; ,\end{displaymath}

où P et P' sont deux plans distincts:

\begin{displaymath}\displaystyle \ P=[Vec\{ \vec{v}\} ]^{\bot },\
P'=[Vec\{ \ve...
...x{a' \cr b' \cr c'},
\ \ \vec{v}\wedge \vec{w}\neq \vec{0}\; .\end{displaymath}

Le vecteur directeur de D est un vecteur $\ \vec{u}$ tel que

$\ Vec\{ \vec{u}\} =
[Vec\{ \vec{v}\} ]^{\bot }\bigcap [Vec\{ \vec{w}\} ]^{\bot }
=[Vec\{ \vec{v},\; \vec{w} \} ]^{\bot } \; .$

On peut prendre $\vec{u}= \vec{v}\wedge \vec{w} $ la normale du plan $F=Vec\{ \vec{v},\; \vec{w} \}, $
et on a l'equation paramétrique de D: $\ \ \ D=\{ t\vec{v}\wedge \vec{w};\ \; t\; \in \; {\mathbb{R}}\} \; .$

Théorème 4.17   Orthogonalisation de Gram-Schmidt.

Soit $(E\; ,\; \langle .\; \vert\; . \rangle ) $ un espace euclidien. Soit ${\mathcal V}=\{ \vec{v}_{1},...,\vec{v}_{k}\} $
un système libre de k vecteurs de E.

Alors il existe un autre système de k vecteurs $\ \ {\mathcal B}=\{ \vec{e}_{1},...,e_{k}\} $
vérifiant les propriétés suivantes:

i) ${\mathcal B}=\{ \vec{e}_{1},...,\vec{e}_{k}\} $ est orthonormé: $\ \ \ \langle \vec{e}_{i}\; \vert\; \vec{e}_{j}\rangle \; =\; \delta _{i,j}$

ii) Pour tout entier $j,\ 1\leq j\leq k,$ on a

\begin{displaymath}Vect\{ \vec{e}_{1},...,\vec{e}_{j}\} =Vec\{ \vec{v}_{1},...,\vec{v}_{j}\}
.\end{displaymath}

${\mathcal B}$ est appelée l'orthonormalisée de Gram-Schmidt de ${\mathcal V},$
c'est une base orthonormée de $\ Vec\{ {\mathcal V}\} .$

Idée de la preuve On part de $ \displaystyle \vec{e}_{1}=
{1\over {\Vert \vec{v}_{1}\Vert }}\vec{v}_{1}$
et on construit les autres vecteurs par la formule de récurrence de Gram-Schmidt

\begin{displaymath}
\vec{e}_{j+1}={1\over {\Vert \vec{w}_{j+1}\Vert }}\vec{w}_...
...
\langle \vec{v}_{j+1}\vert\vec{e}_{q}\rangle \vec{e}_{q}\; .
\end{displaymath} (4.17)

Exemple 4.18   On se place dans ${\mathbb{R}}^3$ avec sa base orthonormée canonique notée

$\ {\mathcal E}=\{ \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3\} .\ \ {\mathcal B}=
\{ \vec...
...
\vec{e}_1+\vec{e}_2 -\vec{e}_3\} =
\{ \vec{b}_1, \vec{b}_2, \vec{b}_3\}
\; $
est un sytème libre (son déterminant est 4).
Son orthonormalisation de Gram-Schmidt est la base orthonormée

$\ {\mathcal C}=\{ \vec{c}_1, \vec{c}_2, \vec{c}_3\} ,\
\vec{c}_1={1\over {\sqr...
...-2\vec{e}_2+\vec{e}_3],\
\vec{c}_3={1\over {\sqrt 2}}[\vec{e}_1-\vec{e}_3]\; .$

Remarque 4.19   Soit $(E\; ,\; \langle .\; \vert\; . \rangle ) $ un espace euclidien de dimension $n,$
et soit ${\mathcal E}=\{ \vec{e}_{1},...,\vec{e}_{n}\} $ une base orthonormée de E:

\begin{displaymath}\langle e_{i}\; \vert\; e_{j}\rangle \; =\; \delta _{i,j}\; .\end{displaymath}

On a alors, pour tout $ \vec{x}\; \in \; E,\ \vec{x}=\displaystyle
\sum _{j=1}^{n}x_{j}\vec{e}_{j}\ ,$ avec

i) $\displaystyle \ \ \forall j=1,...,n,\ x_{j}=\langle \vec{e}_{j}\; \vert\;
\vec...
...ec{x}\; =\; \sum _{j=1}^{n}
\langle \vec{e}_{j}\vert\vec{x}\rangle \vec{e}_{j}$

ii) $\displaystyle \ \ \parallel \vec{x}\parallel =
{\sqrt {\sum _{j=1}^{n}\vert x_{j}\vert^{2}}}$

iii) $\displaystyle \ \ \forall \;
\vec{y}=\sum _{j=1}^{n}y_{j}\vec{e}_{j}\; \in \; ...
...\langle \vec{x}\; \vert\; \vec{y}\rangle \; =\; \sum _{j=1}^{n}x_{j}y_{j}
\; .$

Une application intéressante est

Proposition 4.20   Soit $(E\; ,\; \langle .\; \vert\; . \rangle ) $ un espace euclidien munie d'une base orthonormée

${\mathcal E}=\{ \vec{e}_{1},...,\vec{e}_{n}\} \; .$ Soit un sytème de vecteurs de $E,\ \ {\mathcal V}=\{ \vec{v}_1,\ \vec{v}_2,\ldots ,\vec{v}_k\} .$

Alors ${\mathcal V}\ $ est un système libre s. s. s. sa matrice de Gram $\ G=(\; \langle \vec{v}_i\vert\vec{v}_j\rangle \; )_{1\leq i,j\leq k}$
a un déterminant non nul.

Remarque 4.21   On peut généraliser le procédé de Gram-Schmidt à des systèmes de vecteurs non nécessairement libres: dans l'algorithme de Gram-Schmidt, quand on trouve dans (4.8) un vecteur nul $\ \vec{w}_{j+1}=\vec{0},$ c'est que $ \vec{v}_{j+1}$
est combinaison linéaire des $\vec{v}_1,\ldots ,\vec{v}_j,$
on dégage $ \vec{v}_{j+1}$ et on continue.

Les vecteurs $\vec{e}_j$ vont former une base orthonormée de $\ Vec\{ \vec{v}_1,\ldots ,\vec{v}_k\} .$


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Abderemane Morame 2006-06-07