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Le rang d'une application linéaire

Théorème 1.25   du rang.

Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur ${\mathbb{K}}$ et $u\; \in \; {\mathcal L}(E,F)$
une application linéaire de $E$ vers $F.$

Si $E$ est de dimension finie, alors l'image de $u$ est aussi de dimension finie et $\ \ \ \ dim(E)=dim(Im(u))+dim(Ker(u))\; .$

L'entier $dim(Im(u))$ est appelé rang de $u.$

Preuve On considère une base de $Ker(u),\ {\mathcal B}_0=\{ \vec{b}_1,\ldots ,\vec{b}_d\} .$
On la complète en une base de $E, \ {\mathcal B}=\{ \vec{b}_1,\ldots ,\vec{b}_d,\vec{b}_{d+1},\ldots ,\vec{b}_n\} .$

Alors ${\mathcal E}=\{ u(\vec{b}_{d+1}),\ldots ,u(\vec{b}_n)\} $ engendre $Im(u)$ et on vérifie que c'est un système libre, d'où c'est une base de $Im(u).$

Corollaire 1.26   Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur ${\mathbb{K}}$ de dimension finie. Soit $u\; \in \; {\mathcal L}(E,F)$ une application linéaire de $E$ vers $F.$

Alors on a les propriétés suivantes.

i) Si $u$ est inversible, on a nécessairement $dim(E)=dim(F).$

ii) Si $dim(E)=dim(F),$ alors les propriétés ii-a), ii-b), ii-c) sont équivalentes

ii-a) $u$ est inversible

ii-b) $u$ est surjectif

ii-c) $u$ est injectif

Proposition 1.27   Soit $E$ un espace vectoriel sur ${\mathbb{K}}$ de dimension finie.
Soit deux endomorphismes de $E,\ \ u,\; v\; \in \; {\mathcal L}(E).$
Alors $\ u\circ v$ est inversible s.s.s. $u$ et $v$ sont tous les deux inversibles.

Il suffit de remarque que si $\ u\circ v$ est inversible, alors $v$ est injectif et $u$ et surjectif. Le Corollaire précedent dit, alors que $u$ et $v$ sont inversibles.

Définition 1.28   Soit $E$ un espace vectoriel sur ${\mathbb{K}}$ et
${\mathcal A}=\{ \vec{v}_1,\ldots ,\vec{v}_m\} $ une famille de $m$ vecteurs de $E.$
Le rang de ${\mathcal A}$ est par définition, la dimension du sous-espace vectoriel engendré par ${\mathcal A},\ Vec({\mathcal A}).$

Théorème 1.29   du rang d'une matrice.

Soit $A=(a_{ij})_{\matrix{1\leq i\leq n\cr 1\leq j\leq m}}$ une matrice $n\times m$ à coefficients dans ${\mathbb{K}}. $
Soit $L$ le sous-espace vectoriel de ${\mathbb{K}}^m$ engendré par les lignes de $A,$ et soit $C$ le sous-espace vectoriel de ${\mathbb{K}}^n$ engendré par les colonnes de $A.$
Alors $dim(L)=dim(C)$ et cet entier est appelé rang de $A.$

Ce Théorème sera prouvé à la fin du sous chapitre suivant.


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Abderemane Morame 2006-06-07