1 - Historique

• L'équipe de Mathématiques Appliquées s'est naturellement constituée en 1997, à mi-parcours du plan quadriennal, par le rapprochement d'un groupe de Mathématiciens de l'Université, UMR 6629, et d'un groupe de Mathématiciens de l'Ecole Centrale de Nantes (ECN).

Une convention a été signée, en Mars 1998, entre l'Université de Nantes et l'Ecole Centrale de Nantes.

2 - Les axes de recherche

  Les recherches del'Equipe de Mathématiques Appliquées se situent dans le cadre de l'étude mathématique de problèmes issus
• de la physique (C. Bolley, F. Foucher, J. S. Le Brizaut, A. Nachaoui, M. Pogu),
• de la mécanique (F Jauberteau, A. Nachaoui, M. Pogu)
• de la R.M.N. (Jean-Pol Guillement)
• et de la médecine (A. Le Méhauté),
• ainsi que leur approximation numérique.

3 -  Composition de l'équipe

3.1 - Les membres permanents
• Jean-Marie Audrin, Maître de Conférences.
• Lise Bellanger, Maître de Conférences.
• Catherine Bolley, Professeur à l'ECN .
• Philippe Carmona, Professeur.
• Yve Coudière, Maître de Conférences, (page personnelle).
• Francoise Foucher, Maître de Conférences à l'ECN .
• Jean-Pol Guillement, Maître de Conférences, (page personnelle).
• Francois Jauberteau, Professeur.
• Jean-Sébastien Le Brizaut, Maître de Conférences à l'ECN .
• Alain Le Mehauté, Professeur.
• Abdeljalil Nachaoui, Maître de Conférences, (page personnelle).
• Marc Pogu, Professeur à l'ECN .

3.2 - Les membres non permanents

• A. Abouchabaka, Chercheur CNRS Associé.
• A. Chakib, Maître de Conférences Invité.
• A. Ellabib,  Maître de Conférences Invité .
• R. Janane Doctorant (Directeur F. Jauberteau et A. Morame).
• A. IMMAS Doctorant (Directeur LE MEHAUTE).
• B. KAMEL Doctorant (Directeur LE MEHAUTE).
• M. LECUMBERRY Doctorant (Directeur C. Bolley et T. Rivière).
• C. Pierre Doctorant (Directeur F. Jauberteau et Y. Coudière).

4 - Séminaire et relations internationales

L'équipe anime un Séminaire hebdomadaire qui se tient habituellement le jeudi à 14h15 dans la Salle Hypatia Rez de chaussée du Département de Mathématiques.

L'Equipe entretient des relations régulières et suivies avec des universités de plusieurs pays : Ecole Mohammadia d'Ingénieurs Rabat, Université Ibn Tofaïl), Université de Dortmund, Université Hohenheim, Université de Georgia ...

5 - Thème de recherche : EDP non linéaires et leur approximation

Notre direction principale de recherche est la modélisation de quelques problèmes issus de la physique par des EDP non linéaires, et leur approximation numérique.

5.1.1 Etude des problèmes de filtrage de liquides a travers des milieux poreux (A. Nachaoui, A. Chakib)

Ce travail consiste à étudier le problème d'écoulement permanent à travers une digue en milieu poreux non homogène. L'objet est de déterminer la zone mouillée ainsi que la vitesse de filtration du liquide à l'intérieur de la digue. Nous utilisons une paramétrisation du domaine, un choix de régularité minimale sur la fonction paramétrisante permet de montrer l'équivalence avec un autre problème. Nous proposons alors une nouvelle formulation de ce dernier, basée sur la méthode d'optimisation de forme, permettant l'étude de l'existence de la solution avec moins d'hypothèses de régularité sur le coefficient de perméabilité que dans les travaux antérieurs, ensuite nous étudions l'approximation du problème par la méthode des éléments finis.

5.1.2 Problèmes inverses nonlinéaires (A. Nachaoui)

On s'intéresse à l'étude d'un problème inverse elliptique d'ordre 2 posé dans un ouvert de Rⁿ. Il s'agit de contrôler des données sur une partie  de la frontière de l'ouvert ( afin d'obtenir la trace désirée sur une autre partie de la frontière) . La méthode que l'on présente est une méthode itérative permettant une construction de la solution via la résolution d'une suite de problèmes aux limites bien posés. Une formulation en équations intégrales de ces problémes ainsi que leur approximation par des éléments de frontière est en cours.

5.1.3 Equations de semi-conducteurs (A. Nachaoui, J. Abouchabaka, A. Ellabib)

Etude de quelques systèmes d'équations aux dérivées partielles nonliléaires issus de la modélisation macroscopique des composants semi-conducteurs. En particulier on s'interesse à l'approximation du modèle dérive-diffusion par des problèmes de frontière libre reformulés à l'aide des techniques d'optimisation de forme.
 

5.2 Etude des changements de phase de materiaux supraconducteurs (C. Bolley, F. Foucher )
en collaboration avec  B. Helffer et P. Del Castillo

Nous étudions les changements de phase de matériaux supraconducteurs  en fonction de plusieurs paramètres: le paramètre de Ginzburg-Landau, le champ magnétique extérieur, la géométrie de matériau. Ces changements de phase sont associés à des valeurs critiques de la fonctionnelle de Ginzburg-Landau et sont donnés par les équations de Ginzburg-Landau. Dans le cas de films supraconducteurs, les équations de Ginzburg-Landau sont constituées d'un système de deux équations elliptiques non linéaires couplées que nous avons étudié par des techniques asymptotiques, des méthodes de monotonie ou de bifurcation. Nous avons ainsi obtenu un certain nombre de résultats sur les champs magnétiques critiques des films et leur comportement asymptotique en fonction des paramètres et envisageons d'étendre notre travail à des problèmes en dimension deux.

5.3 Construction de surfaces C1 préservant la monotonie ou la convexité des données (F. Foucher) en collaboration avec P. Sablonnière (IRMAR, Rennes)
A partir des schemas de subdivison C1 en dimension 1 introduits par J.P. Merrien (Merrien, 1992), nous construisons des surfaces C1 par produits tensoriels. En dimension 1, ces shemas de subdivision permettent d'obtenir des courbes conservant la monotonie ou la convexité de données d'Hermite (Merrien, Sablonnière, 2001). Nous étendons ces résultats en dimension 2 : en particulier  avec la construction de surfaces préservant la bimonotonie (monotonie dans les 2 directions) des données (Foucher, Sablonnière, à paraître) par des algorithmes de calcul simples et rapides.

5.4.1 Approximation par fonctions radiales ( A. Le méhauté)

Ce travail continue les études en cours sur la construction de nouvelles fonctions radiales dans le contexte des splines hilbertiennes. Il s'agit principalement de caractériser les fonctions radiales en particulier celles à support compact, poursuivant les travaux de Schaback et de Buhmann et de A Le Méhauté (1998, à paraitre). Une collaboration avec M.Buhmann (Université de Dortmund, Allemagne) est en cours, pour laquelle une étude systématique des fonctions radiales sur la sphère, ou plus généralement sur une variété de dimension 2, est envisagée., avec aussi l'aide de K.Jetter, Université de Stuttgard, Allemagne.

5.4.2 Approximation et éléments finis ( A. Le méhauté)

Poursuite de l'étude des éléments finis rationnels définis sur un simplexe (en particulier en dimension 3), avec représentation explicite sous forme de Taylor ou sous forme de Bernstein-Bézier. Application à la réduction des bases de données en CAO.

5.5.1 Approximation spectrale de type Galerkin des équations de Navier-Stokes (Jauberteau)

De nouvelles bases spectrales, basées sur les polynômes de Legendre, vérifiant les conditions aux limites ainsi que la contrainte d'incompressibilité ont été développées. Leurs implémentations sont en cours de réalisation dans différentes configurations {\it i.e.} écoulements dans un canal 3D, dans une cavité 2D et 3D, écoulements axi-symétriques dans un cylindre, ...

5.5.2 Les inconnues incrémentales et méthodes des différences finies (Jauberteau)

Le but de ces travaux est de développer des méthodes multi-niveaux dans le cadre d'approximation des opérateurs aux dérivées partielles par des différences finies. Ceci permettra de généraliser les travaux à des configurations ayant des géométries plus complexes. Pour séparer les échelles, une possibilité est d'utiliser différents domaines, afin de séparer les échelles en fonction de leur localisation dans le domaine de calcul. Les interactions entre les grandes et les petites échelles seront alors réalisées au moyen des raccords entre les domaines et l'integration temporelle sera adaptée en fonction du domaine. D'autre part, les méthodes de décomposition de domaines sont bien adaptées aux calculateurs parallèles. Des problèmes classiques de turbulence incompressible pourront alors \^etre étudiés, tels que les problèmes de la marche, de la cavité entrainée, ou de l'écoulement autour d'un obstacle.

5.5.3 Météorologie (Jauberteau)

Etude du développement de méthodes multi-échelles dans le cas de problèmes liés à la météorologie (problème du shallow water, ...).

5.6 Méthodes d'optimisation pour l'étude d'équations aux dérivées partielles (J.S. Le Brizaut, M. Pogu)

Ces méthodes consistent à approcher, sur les plans fonctionnel et numérique, des équations aux dérivées partielles avec paramètres par optimisation de projections. Ces équations, non-linéaires ou linéaires, peuvent être de type mixte (hyperbolique-elliptique, hyperbolique-parabolique) et peuvent dépendre de paramètres (identification d'une fonction dans un processus thermocinétique par
exemple). Des cas issus de la thermique (cuisson d'un élastomère), de la biologie (modèle de Hodgkin-Huxley) ou de l'aérodynamique (modèle de Karman-Guderley avec entropie) ont déjà été étudiés.
 

5.7.1 Ajustement de paramètres (Jean-Pol Guillement)

Etude de problèmes inverses mal conditionnés issus de la R.M.N. nécessitant un traitement par régularisation. La recherche de régularité se fait par minimisation de normes sur les dérivées ou par optimisation d'un critère statistique comme l'Entropie.

5.7.2 Tomographie d'émission: Algorithme de reconstruction basé sur la formule d'inversion explicite de R.Novikov. (J-P.Guillement, F.Jauberteau, R.Novikov.)

La formule de R.Novikov (Inverse probleme No 17, 2001)  résout explicitement le problème de l'inversion de la transformation de Radon atténuée.

        La mise en oeuvre de cette formule a montré des problèmes d'instabilité au bruit sur les données. Le travail consiste à étudier l'utilisation de la formule sur des données réelles, en développant des techniques de filtrage, en décomposant certains opérateurs constitutifs en fonction de leur sensibilité au bruit et en appliquant des filtres adaptés.

7.8  Probabilités et statistiques Ph. Carmona L. Bellanger
 
 
 
 
 
 
Vos remarques via e-mail à Abdeljalil Nachaoui

 

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