Groupe de travail en géométrie

2018-2019 - Autour du troisième problème de Hilbert

Pour l'année 2018-2019, nous avons choisi le thèmes des découpages de polyèdres aux ciseaux, aussi appelés problème des congruences de polyèdres, ou encore troisième problème de Hilbert.

Il est connu depuis l'antiquité qu'étant donnés deux polygones de même aire dans le plan, il est toujours possible de les découper en petits triangles, de sorte que les "puzzles" obtenus pour chacun des polygones soient les mêmes. En d'autre termes on peut passer d'un polygone à l'autre en faisant un découpage en morceaux appropriés.

Le troisième problème de Hilbert était de déterminer si un résultat analogue persiste pour les polyèdres en dimension 3. Dehn, l'élève de Hilbert, apporta une réponse négative à cette question en montrant qu'un simplexe régulier et un cube de même volume ne sont pas congruents. En outre, Dehn introduisit un invariant de congruence qui caractérise les classes d'équivalence (théorème de Sydler).

Alors que le problème semble totalement clos en dimensions 2 et 3, de nombreuses questions restent ouvertes en dimensions supérieures. Il est également naturel de considérer d'autres types de congruences, où le groupe d'isométries a été remplacé par d'autres groupes de Lie classiques. Ces questions n'ont pour l'instant pas ou peu été étudiées.

Les descriptions élémentaires des invariants de Dehn et les groupes de congruence ont trouvé des interprétations en termes de cohomologie des groupes. De plus, les groupes de congruence jouent un rôle au coeur de la K-théorie algébrique. Cette approche algébrique, adoptée par Johan Dupont, sera étudiée dans le cadre du groupe de travail.

Pour plus de références:

Exposés programmés

  1. Lundi 1er Octobre, 11h salle des séminaires - Yann Rollin
    Equivalence de polygones par découpages et théorème de Janos Bolyai. Discussion et introduction.
  2. Lundi 8 Octobre, 11h salle des séminaires - Laurent Piriou
    Le théorème de Sydler. (Notes manuscriptes)
  3. Lundi 22 Octobre, 11h salle des séminaires - Laurent Piriou
    Le théorème de Sydler (suite). (Notes manuscriptes)
  4. Lundi 12 novembre, 11h salle des séminaires - Friedrich Wageman
    Théorème de Sydler et homologie.
  5. Lundi 26 novembre, 11h salle des séminaires - Yann Rollin
    Interprétation homologique du 3ème problème de Hilbert.
  6. Lundi 3 décembre, 11h salle des séminaires - Yann Rollin
    Interprétation homologique du 3ème problème de Hilbert.
  7. Lundi 17 décembre, 11h salle des séminaires - Vincent Franjou
    Homologie des complexes de drapeaux.
  8. Lundi 7 janvier, 11h salle des séminaires - Vincent Franjou
    Homologie des complexes de drapeaux.
  9. Lundi 28 janvier, 11h salle des séminaires - Friedrich Wageman
    Théorème de Sydler et homologie.
  10. Lundi 4 février, 11h salle des séminaires - Friedrich Wageman
    Théorème de Sydler et homologie.
  11. Lundi 11 février, 11h salle des séminaires - Friedrich Wageman
    Théorème de Sydler et homologie.