Enseignements

                Année 2012-2013 : Cours de Master 2 avec Nicolas Depauw
    "Introduction aux équations d'évolution ; Équation des ondes non linéaires"



Plan du cours :


• Chap 1 : Quelques exemples d'équations aux dérivées partielles  (ND)
       Présentation de quelques équations aux dérivées partielles qui apparaissent en physique (eq. de transport, Schrödinger, ondes, KdV, Chaleur,...) et quelques propriétés avec des calculs explicites. Théorème de Cauchy-Kowalevski (admis).


• Chap 2 : Distributions tempérées   (ND)
  1. Espace de Schwartz.
  2. Distributions tempérées. Propriétés, dérivée faible, convolution. Transformée de Fourier dans S'.
  3. Application aux EDP. Solutions fondamentales.
          Feuille d'exercices 1         Feuille d'exercices 2


• Chap 3 : Espaces de Sobolev dans R^d   (LT)
       Espaces H^s. Injections de Sobolev.
          Feuille d'exercices 3


• Chap 4 : Méthode des caractéristiques   (ND)
  1. Équations de transport et de conservation.
  2. Équation de Burgers.
          Feuille d'exercices 3bis


• Chap 5 : Introduction à l'équation des ondes   (LT)
  
  1. Introduction : Calcul des solutions explicites en dimension 1, 2 et 3. Principe de Huygens. Propagation à vitesse finie. Unicité au problème de Cauchy.
  2. Théorie L2 : Équation linéaire. Un théorème d'existence pour les équations quasi-linéaires. Critère d'extension des solutions.
  3. Estimations dispersives : Exemples. Intégrales oscillantes (phase stationnaire et non-stationnaire). Application aux estimations dispersives.
          Feuille d'exercices 4         Feuille d'exercices 5


• Chap 6 : Étude d'une équation particulière   (LT)
  
  1. Théorème d'explosion en temps fini.
  2. Un théorème d'existence globale à données petites en dimension d≥4.
          Feuille d'exercices 6

Année 2011-2012 : Cours de Master 2
"Introduction aux équations d'évolution ; Équation de Schrödinger non linéaire"



Plan du cours :


• Chap 1 : Quelques exemples d'équations aux dérivées partielles
       Présentation de quelques équations aux dérivées partielles qui apparaissent en physique (eq. de transport, Schrödinger, ondes, KdV, Chaleur,...) et quelques propriétés avec des calculs explicites. Théorème de Cauchy-Kowalevski (admis).


• Chap 2 : Distributions tempérées
  1. Espace de Schwartz.
  2. Distributions tempérées. Propriétés, dérivée faible, convolution. Transformée de Fourier dans S'.
  3. Application à l'équation de Schrödinger.
  
  
• Chap 3 : Espaces de Sobolev dans R^d
       Espaces H^s. Injections de Sobolev.
          Feuille d'exercices 1


• Chap 4 : Théorème de Hille -Yoshida
  1. Introduction aux semi-groupes. Preuve complète du théorème de Hille -Yoshida.
  2. Théorème de Stone (admis). Application à l'équation de Schrödinger linéaire avec potentiel.
          Feuille d'exercices 2


• Chap 5 : Équation de Schrödinger linéaire
  
  1. Propriétés élémentaires du groupe de Schrödinger (calculs explicites, calcul du noyau de convolution). Invariances de l'équation. Théorème de van der Corput et phase stationnaire (présentation par un étudiant).
  2. Théorème de Riesz-Thorin (présentation par un étudiant). Inégalités de dispersion.
  3. Effet régularisant de Kato (présentation par un étudiant).
  4. Inégalités de Strichartz : Théorème d'interpolation de Marcinkiewicz et inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev (présentation par un étudiant), lemme de Christ-Kiselev (admis).
          Feuille d'exercices 3


• Chap 6 : Équation de Schrödinger non linéaire
  
  1. Lois de conservations.
  2. Théorie locale et globale L² : cas sous-critique et critique à données petites. Théorie H¹ (admise).
  3. Argument du viriel (présentation par un étudiant).
          Feuille d'exercices 4

              Beaucoup d'exercices sont tirés du livre de F. Linares et G. Ponce "Introduction to nonlinear dispersive equations" (Springer).

Depuis Septembre 2008 : Enseignement à l'université de Nantes : Licence, Master 1 et 2, préparation à l'agrégation

Septembre 2007-Août 2008 : ATER complet à l'université Paris-Sud : Cours-TD d'analyse en 1ère et 2ème année de Licence.

Septembre 2004-Août 2007 : Moniteur à l'université Paris-Sud : TD d'analyse et probabilités en 1ère et 2ème année de Licence.