Colloquium (archives)

En 1959, R.V. Kadison et I.M. Singer demandaient si tout état pur sur l'algèbre des opérateurs diagonaux bornés sur $\ell^2$, admet une extension unique en un état pur de $B(\ell^2)$. La réponse positive a été donnée en juin 2013 par A. Marcus, D. Spielman et N. Srivastava, après une série de traductions du problème original, par C. Akemann, J. Anderson, N. Weaver... Au final, le problème se ramène à une estimation du plus grand zéro de l'espérance du polynôme caractéristique d'une somme de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans les matrices semi-définies positives de rang 1 dans l'algèbre des matrices n-fois-n.

Résumé : Certaines questions d'analyse harmonique motivent également les\break edp-istes: les uns travaillent dans R^n, les autres prennent le risque de la non-commutativité en se plongeant dans des groupes exotiques dont la "star" est sans conteste le groupe d'Heisenberg. Notre objectif dans cet interlude * microlocal sera de s'appuyer sur un de ces sujets communs pour se familiariser avec l'approche microlocale et comprendre comment celle-ci peut être mise en oeuvre dans des contextes variés.

*Un interlude est une petite pièce instrumentale jouée entre deux morceaux plus considérables.

Dans cette conférence, nous allons expliquer comment le formalisme probabiliste des grandes déviations a été utilisé en mécanique statistique. On insistera plus particulièrement sur les systèmes hors équilibre et les aspects liés aux limites hydrodynamiques.

Je ferai un survol d'applications de la topologie à la neuroscience, de l'échelle des neurones à l'échelle des régions du cerveau. En particulier je décrirai en détail des collaborations avec le projet "Blue Brain" concernant l'analyse topologique de la structure et la fonction de microconnectomes digitalement reconstruits et concernant la classification topologique de types morphologiques de neurones, qui sert ensuite à la synthèse de modèles digitaux de neurones.

La question d'obtenir des équations de la mécanique des fluides à partir de systèmes déterministes de particules en interaction satisfaisant aux équations de Newton, dans la limite où le nombre de particules tend vers l'infini, est posée par Hilbert dans son sixième problème. Dans cet exposé nous présenterons quelques avancées dans ce programme. Il s'agit de travaux en collaboration avec Thierry Bodineau et Laure Saint Raymond.

 Un théorème de Richard Courant (1923) énonce qu'une fonction propre u du Laplacien -- par exemple dans un domaine borné de R^n, avec conditions de Dirichlet -- ne peut pas avoir plus de domaines nodaux [les composantes connexes du complémentaire de u^{-1}(0)] que l'ordre de la valeur propre correspondante [les valeurs propres étant rangées dans l'ordre croissant, avec multiplicités]. Ce théorème généralise partiellement, en dimension supérieure ou égale à deux, un théorème de Charles Sturm (1836) pour les équations de Sturm-Liouville.

Dans cet exposé, je parlerai de résultats connus, parfois un peu oubliés, ou moins connus de Sturm, en relation avec le théorème de Courant et les travaux récents auxquels il a donné lieu.

Il existe de nombreux problèmes de physique ou de mathématiques dont l'objectif est "d'énumérer" ou "mesurer" un ensemble de surfaces de topologie donnée.

Un nombre considérable de modèles macroscopiques ont été introduits ces dernières années pour décrire les mouvements de foules. Nous nous focaliserons sur une classe particulière de modèles, fondés sur des principes rudimentaires en termes de modélisation: chaque individu cherche à réaliser un certain objectif (par exemple sortir d’une pièce au plus vite), mais, du fait de la congestion (deux personnes ne peuvent pas être au même endroit au même moment), la vitesse effective de l’ensemble est assujettie à rester dans un certain ensemble. On définit cette vitesse effective comme la plus proche de la vitesse souhaitée parmi les vitesses admissibles (au sens des moindres carrés). Malgré son indigence, ce modèle possède une structure mathématique assez riche.

Résumé : Le but de cet exposé est de présenter quelques résultats récents sur les propriétés de certaines fonctions aléatoires issues de la géométrie. Un exemple typique est le suivant : si $\lambda$ est une grande valeur propre du laplacien sur la sphère $S^2$, l’espace propre correspondant est de grande dimension, et on peut y choisir une fonction propre aléatoirement suivant la mesure gaussienne standard ; on s’intéresse alors aux propriétés asymptotiques de cette fonction $\phi\lambda$ dans la limite $\lambda \to \infty$.