Nouvelle approche dans l'approximation numérique des problèmes hyperboliques non linéaires.

Dans cet exposé, je m'intéresse à l'approximation numérique des problèmes hyperboliques non linéaires. Il est bien connu que la solution générique du problème de Cauchy pour un problème de ce type n'est même pas continue, en général, d'où la notion de solution faible. Il faut aussi rajouter un principe de sélection au moyen d'entropies, et donc des inégalités supplémentaires. Du point de vue numérique, la notion de solution faible se traduit, grâce au théorème de Lax Wendroff (1960), par la notion de flux qui donne aussi la forme que doit posséder un schéma numérique pour fournir des solutions convergeant vers une solution faible. Les contraintes d'entropies se traduisent simplement par des contraintes sur des flux liés à l'entropie. Depuis longtemps, la recherche se résume à construire des schémas, donc des flux, de plus en plus robustes, précis, .... Je revisiterai la notion de conservation, pour introduire une variante un peu plus générale qui permettra de démontrer un théorème à la Lax Wendroff, et de montrer que tous les schémas classiques, éléments finis compris, ont une forme par flux, avec une expression analytique des flux. Je montrerai aussi qu'elle permet de construire, à partir d'un schéma quelconque, un schéma, toujours localement conservatif, mais qui satisfait d'autres relations (ou inégalités) de conservation, l'exemple typique étant celui de l'entropie.