La transformée de Riesz $\nabla \Delta^{-1/2}$ sur $\mathbb R^n$ peut être définie comme un opérateur integral, dont le noyau est de Calderon-Zygmund, ce qui implique que $\nabla \Delta^{-1/2}$ est continu sur $L^p(\mathbb R^n)$ pour tout $1<p<+\infty$. Dans les années 80, Strichartz se demanda si cette propriété sur la transformée de Riesz est transmise aux variétés riemanniennes, plus exactement, quelles sont les conditions géométriques nécéssaires ou suffisantes sur une variété riemannienne qui impliquent la continuité $L^p$ de la transformée de Riesz.
J'exposerai (une partie) de la littérature sur le sujet, puis je présenterai notre résultat (en collaboration avec Li Chen, Thierry Coulhon, et Emmanuel Russ) sur des variétés riemanniennes de type fractal (i.e. avec un noyau de la chaleur qui vérifie des estimations sous-gaussiennes). Je parlerai aussi du cas des graphes, qui peuvent être vus comme la version discrète des variétés riemaniennes, ce qui me permettra de donner des exemples d'application de nos résultats.
Si le temps le permet, je ferai un lien entre l'analyticité discrète (sur $L^2$) et les marches aléatoires paresseuses (lazy random walk).