Méthodes numériques pour des problèmes d'évolution hautement oscillants avec fréquence variable

Je commencerai par présenter la forme générique des problèmes d'évolution hautement oscillants que nous avons étudiés, ainsi quelques applications en théorie cinétique et quantique. Deux catégories seront traitées: le cas où la fréquence varie mais reste éloignée de 0, et le cas où cette fréquence peut éventuellement s'annuler. Le but des travaux que je présenterai est de construire des schémas numériques pour ces modèles dont le coût et la précision sont indépendants de la fréquence de ces oscillations : on parle alors de schémas uniformément précis (UA). Dans le premier cas d'une fréquence non dégénérée, les approches que nous avons développées pour construire de tels schémas s'appuient essentiellement sur la théorie de la moyennisation (vision double échelle) et une décomposition de type micro/macro. Dans le deuxième cas où la fréquence peut s'annuler, les développements asymptotiques issus de la moyennisation classique ne sont plus valides, mais nous montrons que des schémas UA peuvent être néanmoins construits en combinant une nouvelle technique de type "phase stationnaire" avec une décomposition micro/macro. Des tests numériques seront présentés pour confirmer l'uniforme précision de ces schémas.