Decompositions hautes-fréquences des solutions de l'équation de Helmholtz via le calcul fonctionnel, et application aux éléments finis

Nous nous intéresserons à l'équation de Helmholtz, un des plus simples modèles d'onde, posée à l'extérieur d'un obstacle. La méthode des éléments finis est un outils robuste et efficace pour résoudre une telle équation de manière numérique, cependant, des difficultés apparaissent lorsque l'on souhaite obtenir des estimations de convergence uniformes en la fréquence. Au cours des 10 dernières années, des résultats de Melenk et Sauter, décomposant les solutions de Helmholtz en composantes « hautes » et « basses » fréquences pour obtenir de telles estimations de convergence, ont eu un impact considérable. Obtenir ces décompositions dans un cadre général, par exemple pour l'équation à coefficients variables, semblait cependant pour l'instant hors de portée. Je présenterai un résultat récent obtenu avec Euan Spence et Jared Wunsch, où nous montrons, grâce à l'apport de l'analyse semi-classique et du calcul fonctionnel de Helffer et Sjöstrand, de telles décompositions dans le cadre très général de la dispersion par une boîte noire (« black-box scattering » de Sjöstrand et Zworski). Ce résultat nous permet en particulier d'obtenir de nouvelles estimations de convergence uniformes en la fréquence pour les éléments finis appliqués à l'extérieur d'obstacles pénétrables et impénétrables pour l'équation à coefficients variables.