Une introduction à la théorie probabiliste des nombres

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à des questions du type "quelle est la probabilité qu'un entier naturel pris au hasard satisfasse une certaine propriété ?". Par exemple : est-il probable qu'un entier soit sans facteur carré ? Hélas, nous montrerons qu'il n'existe pas de mesure de probabilité sur les entiers qui permette de traiter ce type de questions en préservant l'intuition naturelle qui nous dit qu'un entier sur deux est pair, un entier sur trois est divisible par trois etc. Nous devons donc raisonner en terme de proportion d'entiers satisfaisant notre propriété parmi les N premiers entiers, puis laisser N tendre vers l'infini. Cependant, il ne faut pas croire que tout devient alors un problème de comptage suivi d'un équivalent asymptotique. Au contraire, cette approche donne naissance à des questions intéressantes d'un point de vue strictement probabiliste, et qui apparaissent très naturellement dans le contexte de ces problèmes.