The simplex Hilbert transform is a singular integral form related to the multilinear Hilbert transform and Carleson’s operator. Boundedness of the simplex Hilbert transform is is one of the major open problems in harmonic analysis. In this talk we discuss bounds for a superposition of simplex Hilbert transforms in low dimensions, and related singular integral forms. Joint work with Joris Roos.
Dans cet exposé nous nous proposerons de revisiter la théorie de Harris-Meyn-Tweedie sur les semi-groupes de Markov, et nous nous intéresserons plus particulièrement au cas sous-géométrique, c’est-à-dire, lorsque le retour vers l’équilibre n’est pas à vitesse exponentielle. Nous commencerons par établir l’existence d’un état d’équilibre et un taux de convergence vers celui-ci pour une classe d’opérateurs stochastiques à l’aide d’arguments simples, déterministes et constructifs. Nous montrerons comment en déduire certains résultats de Douc-Fort-Guillin sur les semi-groupe de Markov et comment cela peut être utile pour généraliser un résultat de convergence de Aoki-Golse sur l’équation de transport libre avec condition de diffusion sur le bord.
La transformée de Riesz $\nabla \Delta^{-1/2}$ sur $\mathbb R^n$ peut être définie comme un opérateur integral, dont le noyau est de Calderon-Zygmund, ce qui implique que $\nabla \Delta^{-1/2}$ est continu sur $L^p(\mathbb R^n)$ pour tout $1<p<+\infty$. Dans les années 80, Strichartz se demanda si cette propriété sur la transformée de Riesz est transmise aux variétés riemanniennes, plus exactement, quelles sont les conditions géométriques nécéssaires ou suffisantes sur une variété riemannienne qui impliquent la continuité $L^p$ de la transformée de Riesz.
I will present some recent progress in an ongoing project with S. Buschenhenke (Kiel), I. Ikromov (Samarkand) and D. Müller (Kiel) where we obtain the range of $p$ for which the maximal operator associated to hypersurfaces in $R^3$ is bounded on $L^p$. We will see, with a particular example, how, when the so-called height is less than $2$, it is not what determines the $p$ range.
In this talk, we will first review some classical results on the so-called ’spectral inequalities’, which yield a sharp quantification of the unique continuation of the spectral family associated with the Laplace-Beltrami operator in a compact manifold. In a second part, we will discuss how to obtain the spectral inequalities associated to the Schrodinger operator -\Delta_x + V(x), in \mathbb{R}^d, in any dimension $d\geq 1$, where V=V(x) is a real analytic potential. In particular, we can handle some long-range potentials. This is a joint work with Prof G. Lebeau (Université de Nice-Côte d'Azur, France).
Classical and flag paraproducts arise naturally in the study of nonlinear PDEs. While multi-parameter paraproduct has been studied thoroughly, known estimates for flag paraproducts only involve single parameter. We will state $L^p$ estimates for a particular case of the bi-parameter flag paraproduct on some restricted function spaces. We will discuss the key ingredient of the proof - a stopping-time argument which combines information from subspaces to obtain estimates on the entire space.
The Degasperis-Procesi equation (DP) is a spatial one-dimensional model for nonlinear shallow waters phenomena and it is one of the few known Hamiltonian PDEs which is completely integrable, namely it possesses infinitely many constants of motion. Moreover this equation is quasi-linear, namely the nonlinear terms contain derivatives of the same order of the linear part. In this talk I will show a recent result of existence and stability of small amplitude quasi-periodic solutions for Hamiltonian perturbations of the DP equation on the circle. This result is based on a combination of Nash-Moser / KAM schemes and pseudo differential calculus techniques. There are several issues in dealing with this problem:
Dans cet exposé, je présenterai des résultats concernant le problème de Cauchy pour les ondes non linéaires avec données aléatoires et/ou une force stochastique en dimension deux. Après avoir expliqué la construction de la mesure de Gibbs associée au Hamiltonien de l'équation et la nécessité de renormaliser, je présenterai un schéma de preuve du caractère bien posé dans le cas particulier du tore. Enfin, j'expliquerai comment contourner l'approche classique par analyse de Fourier de la construction des objets stochastiques principaux afin d'étendre ces résultats à une surface compacte sans bords plus générale.