Séminaire d'analyse (archives)

Théorie de la diffusion pour des systèmes quantiques dissipatifs

Nous présenterons dans cet exposé la théorie du scattering pour une équation de Schrödinger engendrée par un opérateur dissipatif. De telles équations sont très souvent utilisées en mécanique quantique pour décrire des phénomènes dissipatifs, par exemple la diffusion ou l'absorption d'un neutron par un noyau lourd. Nous verrons que la présence ou l'absence de singularités spectrales dans le spectre du générateur de la dynamique est liée à la validité de la propriété de complétude asymptotique des opérateurs d'ondes. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Jürg Fröhlich.

Le but de mon exposé est de présenter des résultats obtenus avec Andrew Comech (Texas A&M) dans l’analyse de la stabilité asymptotique des états stationnaires de modèles de Dirac non linéaires.

Nous analysons par des méthodes de continuation unique et de bifurcation l’apparition d’instabilités linéaires depuis la limite non relativiste.

In this talk, I will present some aspects of dispersion for the Dirac operator. I will start by partially reviewing what is known for the Dirac operator in a Minkowkski space-time. Then, I will introduce the Dirac operator in a curved space-time, and present a result of dispersion for specific cases such as assymptotically flat or warped product geometries. This is a joint work with F. Cacciafesta (Padova).

Dans cet exposé on rappellera les résultats classiques sur le trou spectral des revêtements finis des variétés Riemaniennes compactes et le lien avec le spectre des graphes. On montrera ensuite qu'un phénomène analogue se produit lorsque l'on étudie les résonances de revêtement finis de surfaces hyperboliques géométriquement finies.

On présente quelques résultats qui permettent d'améliorer, d'un point de vue probabiliste, les injections de Sobolev de certains opérateurs elliptiques. En l'occurrence, on s'intéressera à l'opérateur de Laplace-Beltrami sur une variété compacte et au Laplacien plus un potentiel confinant sur R^d (comme l'oscillateur harmonique).

Cet exposé survolera de récentes avancées relatives à la description du spectre discret du laplacien magnétique, dans la limite semi-classique. Il atterrira avec la description de quelques résultats en dimension deux : les formes normales de Birkhoff, issues d’une collaboration avec S. Vu Ngoc, et les constructions BKW, obtenues le mois dernier avec Y. Bonthonneau

In this paper we consider the Witten Laplacian on 0-forms and give sufficient conditions under which the Witten Laplacian admits a compact resolvent. These conditions are imposed on the potential itself, involving the control of high order derivatives by lower ones, as well as the control of the positive eigenvalues of the Hessian matrix. This compactness criterion for resolvent is inspired by the one for the Fokker-Planck operator. Our method relies on the nilpotent group techniques developed by Helffer-Nourrigat [Hypoellipticité maximale pour des opérateurs polynômes de champs de vecteurs, 1985]

Je commencerai par une revue rapide, introductive et historique sur le problème de Mumford-Shah, puis je présenterai 2 résultats nouveaux. L’un sur la rigidité des minimiseurs globaux en dimension 3 dont l‘ensemble singulier est contenu dans un demi-plan, et l’autre en dimension 2 sur un problème différent qui a été résolu en l’interprétant comme un problème dual à Mumford-Shah.

Soit Ω un guide d'ondes cylindrique infini correspondant à un ouvert de R^3 de la forme Ω := ω x R, où ω est un ouvert borné de R^2. Dans cet exposé, nous considérons le problème inverse consistant à déterminer de façon unique un potentiel q apparaissant dans l'équation de Schrödinger stationnaire -Δu+qu=0 sur Ω à partir d'observations des solutions sur des parties du bord ∂Ω. On présentera aussi différentes applications de ce problème comme: La détermination d'une conductivité a apparaissant dans l'équation -div(a∇u)=0 sur Ω; La détermination d'une classe importante de potentiels q à partir d'observations restreintes à une partie bornée de ∂Ω; La détermination de potentiels à support cylindrique apparaissant dans un guide d'ondes de type plaque délimité par deux hyperplans.

L’analyse des petites valeurs propres du Laplacien de Witten intervient de manière cruciale dans la description de dynamiques métastables. Dans cet exposé, on rappelera l’approche de Helffer-Klein-Nier, Hérau-Hitrik-Sjöstrand pour traiter ce problème, puis on donnera quelques généralisations à des situations dégénérées.