Séminaire d'analyse (archives)

On montre que l'équation des ondes de gravité-capillarité en dimension un d'espace admet, pour des données initiales assez régulières, périodiques, paires, de "masse" nulle et de taille $\epsilon$ petite, une unique solution presque globale, i.e. définie sur un intervalle de temps de longueur $c_N\epsilon^{-N}$, pour $N$ un entier arbitraire. Le résultat est obtenu sous l'hypothèse que le couple de deux paramètres dont dépend l'équation (la gravité et la tension de surface) soit pris hors d'un ensemble exceptionnel de mesure nulle.

La question d'obtenir des équations de la mécanique des fluides à partir de systèmes déterministes de particules en interaction satisfaisant aux équations de Newton, dans la limite où le nombre de particules tend vers l'infini, est posée par Hilbert dans son sixième problème. Dans cet exposé nous présenterons quelques avancées dans ce programme. Il s'agit de travaux en collaboration avec Thierry Bodineau et Laure Saint Raymond.

Certaines inégalités de Gagliardo-Nirenberg sont équivalentes à des inégalités d’entropie - production d’entropie qui peuvent être établies par la méthode de Bakry-Emery, dite aussi méthode du carré du champ, appliquée à des équations de diffusion rapide. En présence de poids, des flots non-linéaires adaptés peuvent aussi être utilisés comme outil pour l’étude des questions de symétrie et de brisure de symétrie dans les inégalités de Caffarelli-Kohn-Nirenberg. Les asymptotiques en temps grand déterminent quel régime de symétrie doit être considéré. Ce séminaire soulignera le rôle des inégalités linéarisées dans l’étude des équations d’évolution non-linéaires et les conséquences pour les inégalités d’interpolation et la détermination des constantes optimales correspondantes.

A travers un système de deux équations de Schrödinger cubiques couplées, nous étudierons différents types de comportements non linéaires que l'on peut obtenir en EDP. A partir de l'étude de deux cas modèles, sur le cercle et sur la droite réelle, nous verrons en quoi le choix d'un espace produit apparaît naturellement, et comment ce choix permet de construire des solutions mettant en évidence un échange d'énergie en temps infini.

On s'intéresse aux différentes quantifications du tore de dimension un et plus précisément à la quantification de Berezin-Toeplitz, à la quantification de Weyl et à la quantification de Weyl complexe, notion que nous allons définir comme une variante de la quantification de Weyl complexe de R^2 introduite par Johannes Sjöstrand. Le but de cet exposé est d'établir un lien entre ces différentes quantifications du tore notamment grâce à la transformée de Bargmann.

On s'intéresse au système d'équations de Vlasov-Poisson-Fokker-Planck avec un potentiel confinant en dimension 2 et 3 d'espace. On montre que le problème est globalement bien posé pour des conditions initiales à basse régularité Sobolev, et on montre que la solution tend vers l'équilibre en temps grand. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Frédéric Hérau.

We consider the nonlinear Schrödinger equation of degree five on the circle. We prove the existence of quasi-periodic solutions which bifurcate from “resonant” solutions (already studied by Benoît Grébert and Laurent Thomann) of the system obtained by truncating the Hamiltonian after one step of Birkhoff normal form, exhibiting recurrent exchange of energy between some Fourier modes. The existence of these quasi-periodic solutions is a purely nonlinear effect. This is a joint work with Michela Procesi.

In this talk we will revisit an idea of Uchiyama about factorization in Hardy spaces and show how this idea can be implemented in other function spaces. As a result we will obtain factorization theorems for Hardy spaces in multi-parameter settings, multilinear settings, and in the setting of the Bessel operator. Equivalently, we will obtain results about the boundedness of commutators in these settings.

This talk is based on joint work with Ji Li, Xuan Duong, and Donyong Yang.

L'espace Anti-de-Sitter est une des solutions fondamentales des équations d'Einstein. La géométrie de cet espace donne lieu a des problèmes d'évolution avec données initiales et conditions au bord et les propriétés de stabilité et d'instabilité d'Anti-de-Sitter dépendent fortement du choix des conditions au bord. Dans le cas de conditions réflexives, nous énoncerons une conjecture et donnerons quelques heuristiques sur l'instabilité de la solution. Dans le cas de conditions dissipatives, nous présenterons des résultats obtenus en collaboration avec Claude Warnick, Gustav Holzegel et Jonathan Luk donnant des estimations de décroissance pour les solutions des équations linéarisées.