Séminaire d'analyse (archives)

Dans ce travail, nous nous intéressons au problème du comportement en temps grand des solutions d'équations de Fokker-Planck. Nous traitons plusieurs familles d'équations qui correspondent à différents types de diffusion (classique, fractionnaire ou discret). Les équations discrète et fractionnaire convergent en un certain sens vers l'équation de Fokker-Planck classique. Nous traitons donc dans un même cadre, d'une part les équations de Fokker-Planck discrète et classique et d'autre part les équations fractionnaire et classique. Nous obtenons un résultat de convergence vers l'équilibre exponentiel avec taux de décroissance uniforme en le paramètre qui permet de passer de l'équation discrète ou fractionnaire vers l'équation classique.

Nous étudions le problème de la réduction de dimension pour l'équation de Gross-Pitaevskii (GPE) décrivant un condensat de Bose-Einstein confiné dans un piège magnétique fortement anisotrope. Puisque le gaz est supposé être dans un régime d'interaction forte, nous devons analyser une combinaison de deux limites singulières : une limite semi-classique dans la direction de transport et une limite de confinement dans la direction transverse. Nous prouvons que les deux limites commutent et donnons les taux de convergences. Nous obtenons comme sous-produit des modèles approchés en dimensions réduites avec des estimations d'erreurs a priori.

Ce travail est le fruit d'une collaboration avec Weizhu Bao et Florian Méhats.

Les opérateurs (h-)pseudodifférentiels et de Berezin-Toeplitz apparaissent comme observables quantiques lorsque l'espace des phases est respectivement un fibré cotangent ou une variété symplectique compacte. Une question naturelle est de comprendre quelles informations le spectre de tels opérateurs (dans la limite semi-classique) livre sur le système classique sous-jacent. Je préciserai cette question et j'évoquerai quelques résultats récents, en particulier un travail en collaboration avec Alvaro Pelayo et San Vu Ngoc concernant les systèmes semi-toriques en dimension 4.

On considère l’équation de Schrödinger discrète unidimensionnelle (linéaire ou non linéaire):
i∂_t q_n = −(q_n+1 + q_n−1) + V (θ + nω)q_n (+|q_n|²q_n ), n ∈ Z,
avec ω un vecteur rationellement indépendent et V une fonction analytique réelle sur le tore. En décrivant les croissances différentes de la norme de diffusion
||q(t)||_s = (Σ_n n^2s|q n (t)|²)^1/2 , s ≥ 1

Le point de départ de notre exposé est le théorème de Paley-Zygmund (1930) qui permet d'améliorer en probabilité une injection de Sobolev sur le tore. De notre point de vue, ce théorème a engendré trois branches généalogiques assez distinctes : 1) analyse fonctionnelle abstraite (théorie des séries aléatoires dans les espaces de Banach, 1970-80), 2) constructions de solutions globales en régime surcritique à NLS et NLW (années 2000), 3) inspiré du point précédent, études des "injections de Sobolev probabilistes" dans d'autres contextes que le tore (par exemple sphère, fonctions zonales, oscillateur harmonique), années 2000. On se propose de montrer comment adapter des idées d'analyse fonctionnelle des années 70-80 (qui ont abouti à des résultats optimaux) pour retrouver et compléter de

On montre la décroissance de l'énergie locale pour l'équation des ondes dans un guide d'onde avec dissipation constante au bord. On observe que l'onde se comporte en fait en temps grand comme la solution d'une équation de la chaleur. La preuve repose sur des estimées de résolvante. Comme les fonctions propres du problème transverse ne forment pas une base de Riesz, l'analyse spectrale ne se réduit pas de façon évidente à des études "séparées" sur des domaines compacts et euclidiens.

Dans cet exposé, on s'intéressera à un modèle simplifié du problème dynamique de la plasticité parfaite. Dans un premier temps, on présentera le modèle et deux approches possibles pour décrire un tel problème (hyperbolique sous contrainte/variationnelle). On expliquera comment la vision hyperbolique a motivé notre choix de condition de bord. Ensuite, on détaillera comment, grâce à une approche provenant du calcul des variations, il est possible d'obtenir l'existence et l'unicité de solution pour ce problème (en relaxant la condition de bord). Puis, en utilisant des arguments hyperboliques, on démontrera un résultat de régularité en temps courts pour ces solutions. Enfin, on analysera le lien entre les solutions variationnelles et hyperboliques pour ce problème.

En physique des plasmas, le systeme de Zakharov peut être obtenu formellement, dans un cadre haute fréquence, comme limite d'un systeme d'Euler-Maxwell bifluide. J'expliquerai comment des resonances en espace-temps peuvent rendre instables les solutions approchees construites pour cette asymptotique. C'est un travail en commun avec Lu Yong (Prague) et Benjamin Texier (Paris).

Je presenterai deux notions de solutions faible de l'équation de Hamilton-Jacobi, en insistant sur le cas d'une donnée initiale semi-concave.