Séminaire d'analyse (archives)

(See http://www.math.sciences.univ-nantes.fr/~viola-j/Seminaire/OptimalDec15.pdf)

We study the dynamics of a soliton in the generalized NLS with a small external potential εV of Schwartz class. We prove that there exists an effective mechanical system describing the dynamics of the soliton and that, for any positive integer r, the energy of such a mechanical system is almost conserved up to times of order ε^-r. In the rotational invariant case we deduce that the true orbit of the soliton remains close to the mechanical one up to times of order ε^-r. This is a joint work with Dario Bambusi.

Dans cet exposé on va considérer l'équation des ondes cubique sur le cercle. Proche de l'origine on montrera l'existence de solutions quasi-périodiques de faible amplitude proche de la solution de l'équation linéaire et l'existence de tore stable. Pour la preuve on fera appel à un résultat KAM en dimension infinie et à une forme normale de Birkhoff.

Cet exposé présente la construction d' un calcul pseudodifférentiel prolongeant la définition du calcul de Weyl à un espace de dimension infinie, un espace de Wiener abstrait. Travaux en collaboration avec Laurent Amour et Jean Nourrigat.

Nous considérons l'opérateur de Schrödinger avec champ magnétique constant à l'extérieur d'un obstacle compact. Le but est d'analyser des phénomènes de concentration d'énergie près de certaines valeurs (les niveaux de Landau). Cela se manifeste par une accumulation de valeurs propres ou de résonances que nous localisons suivant la condition au bord (Dirichlet, Neumann ou Robin). En particulier nous montrons l'absence de valeurs propres dans certaines zones de l'axe réel. Travail en collaboration avec D. Sambou.

L'existence d'une structure supersymétrique a des conséquences remarquables dans l'analyse spectrales de nombreux opérateurs. En pratique, il arrive que l'existence d'une telle structure ne soit pas évidente. Dans cet exposé, on présentera un critère simple assurant la supersymétrie d'opérateurs différentiels semiclassiques d'ordre deux.

On étudie un problème de diffusion locale à énergie fixée pour l'équation de Schrödinger sur Rⁿ avec un potentiel radial q(r). On suppose que le potentiel q(r) peut s'écrire comme q(r)=q₁(r) + q₂(r) avec q₁(r) à support compact, q₂(r) à courte portée et s'étendant holomorphiquement dans le domaine complexe Re z ≥ 0$. Soient q, q' deux potentiels dans la classe ci-dessus. On note δ_l et δ_l' les phases de diffusion associées.