Séminaire d'analyse (archives)

Nous montrons qu'en dimension supérieure ou égale à 3, il n'y a pas unicité pour le problème de Calderón local pour des métriques Riemanniennes à coefficients Hölder continus. Nous construisons des contre-exemples à l'unicité dans le cas de variétés toroïdales (M,g). Les coefficients de ces métriques sont lisses à l'intérieur de ces variétés et sont seulement Hölder continus sur le bord où sont effectuées les mesures. Plus précisément, nous montrons qu'il existe dans la classe conforme de g une infinité de métriques (\tilde{g} = c^4 g) telles que les applications Dirichlet-Neumann locales sur un bord coïncident. Les facteurs conformes correspondants sont harmoniques par rapport à la métrique g, mais ne vérifient pas le principe de prolongement unique.

We consider a class of quasi-linear, Hamiltonian Schrödinger equations on the d dimensional torus. We discuss the problem of existence and unicity of classical solutions of the Cauchy problem associated to the equation with initial conditions in the Sobolev space H^s, with s large. We also present results about the lifespan and stability of small solutions. The proofs of such results involves techniques of para-differential calculus combined with normal form theory.

Dans cet exposé, on s'intéresse à l'observabilité de l'équation de Schrodinger hypoelliptique. En particulier, on considère l'équation Schrodinger-Grushin, un modèle le plus simple dont la dégénérescence est de degré 1 (un seul crochet de champs engendre le fibré tangent). On obtient l'observabilité par la bande horizontale, avec le temps optimal, en fonction de la taille de la bande. Par conséquence, on démontre la contrôlabilité exacte pour cette équation. L'optimalité est réalisée par construire une suite des fonctions propres de l'oscillateur harmonique semiclassique, qui se concentrent près de l'origine. La preuve utilise plusieur outils d'analyse semiclassique de niveau assez élémentaire. Cet exposé est basé sur un travail en collaboration avec Nicolas Burq.

La quantification de Berezin-Toeplitz permet d'associer, à des fonctions sur des variétés symplectiques, des opérateurs auto-adjoints sur des espaces de Hilbert, avec un paramètre semiclassique. Quand la variété est R^{2n}, on retrouve les opérateurs pseudodifférentiels (par la transformée de Bargmann ou de FBI), et les opérateurs de Toeplitz admettent comme autre classe d'exemples importants les opérateurs de spins (quand la variété est S^2) qui décrivent l'interaction d'un matériau avec un champ magnétique.