Séminaire des doctorants (archives)

Dans cet exposé, je ferais d'abord quelques "rappels" sur l'analyse numérique. Je présenterais des schémas numérique en temps ainsi que la notion d'ordre de convergence. Je parlerai ensuite d'équations différentielles hautement oscillantes mettant en difficulté les méthodes usuelles. J'introduirai alors une méthode pour construire des schémas numériques uniformément précis, bien plus robuste pour ce genre de problèmes. Celle-ci se base sur une reformulation double-échelle de l'équation initiale où sont séparées les échelles de temps lente et rapide. On utilise le degré de liberté obtenu par cette reformulation en préparant la condition initiale à l'aide d'un développement de Chapman-Enskog. Cet exposé sera illustré par des courbes (durement acquises) d'ordre de convergence.

Knots have a double nature: according to each one’s preference, they can be considered as topological or as combinatorial objects. Unsurprisingly, they can be studied with a large array of techniques, spanning from algebraic topology to quantum physics. In this talk we will introduce some basic notions of knot theory and explain how different tools can be used for constructing interesting invariants. The driving example will be the Levine-Tristram signature, a classical topological invariant for which a combinatorial construction has been recently conjectured.

Résumé : Quelle est la longueur moyenne d'une corde du cercle unité ? Selon la méthode employée pour désigner une corde, on peut obtenir des réponses tout à fait différentes à cette question qui paraît pourtant simple. Ce phénomène, connu sous le nom de paradoxe de Bertrand, illustre le fait qu'il n'existe pas toujours de densité (ou mesure) canonique sur des ensembles d'objets géométriques, décourageant ainsi la recherche d'une réponse objective à cette question.

Tout est dans le titre, nous allons essayer de comprendre par le calcul les homologies des espaces suivants : le carré, le tore et le plan projectif réel (ou la sphère si l’audience préfère). Grâce à ces dernières nous auront obtenu une méthode topologique (dans le monde des déformations continues) pour distinguer ces objets ! Vous aurez besoin de votre théorie des groupes et c'est tout.

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L'IRM de diffusion est une méthode non invasive d'imagerie médicale, qui permet de cartographier les microstructures du cerveau, afin de détecter et suivre des maladies neurologiques telles que la sclérose en plaque. Nous verrons ensemble comment fonctionne l'IRM de diffusion, quels sont les modèles mathématiques qu'on applique aux images, et comment les améliorer. Nous étudierons quelques images obtenues grâce à cette technique.

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André Sainte-Laguë (1882-1950) est un enseignant, chercheur et vulgarisateur des mathématiques de l’entre-deux-guerres. Dans ses travaux, il affirme que les mathématiques sont par nature expérimentales et développe une forme d'expérimentation comme administration de la preuve. Sainte-Laguë mobilise cette méthode pour enseigner les mathématiques au lycée, les vulgariser auprès des visiteurs du Palais de la Découverte et dans ses recherches. Le travail de thèse de Sainte-Laguë sur les réseaux (ou graphes) permet d’illustrer comment il met en œuvre concrètement l’expérimentation dans ses recherches mathématiques. Ce travail académique, documenté par plus de cinq cents références, me permet également de proposer une histoire de la théorie des graphes.

Une EDP peut être résolue numériquement via des méthodes de discrétisations (Elements Finis, Volumes Finis, etc.), issues d’un maillage espace-temps, dont la finesse contrôlera l’erreur commise. Obtenir une grande précision implique de résoudre un système numérique de (très) grande taille, nécessitant d’importantes ressources de calcul. Cela pose problème lorsque l’on veut en résoudre un grand nombre avec des ressources limitées.

La réduction de modèle vise à approximer un ensemble de solutions (numériques) issues d’une EDP paramétrique par des structures de faible dimension. Une méthodes classique est celle des Bases Réduites, utilisant sur un sous-espace vectoriel construit par un algorithme glouton.

Avant l'invention des mathématiques, même avant l'apparition des premiers rites religieux, l'Homme s'est de tout temps posé une grande question : combien y-a-t-il de numérotations d'un rectangle de hauteur 2 et de longueur n qui sont croissantes pour la ligne du bas, la ligne du haut, et dont, terme à terme, chaque élément du bas d'une colonne est plus petit que celui du haut de cette colonne ? C'est pour répondre à cette question existentielle que je donnerai un séminaire mardi prochain, à 14 heures. Venez avec feuille et crayon, et vous verrez qu'un détour par les séries entières permettra de répondre à cette interrogation préhistorique.

Les méthodes de Monte Carlo sont des méthodes probabilistes très populaires pour faire de la simulation ou de l'approximation. Elles sont par exemple utilisées comme une alternative aux méthodes déterministes dans le cadre de l'intégration numérique, surtout pour des problèmes d'intégration en grande dimension. Elles reposent essentiellement sur la loi des grands nombres. Après avoir présenté le principe général de ces méthodes, je souhaite aborder trois techniques que l'on peut utiliser pour contrôler ou réduire l'erreur dans le cadre de l'approximation : la variable de contrôle, les variables antithétiques et l’échantillonnage préférentiel.

Many vector-borne diseases are affected by the seasonality of the environment. Yet, the influence of the periodic fluctuations of the environment on the persistence of pathogens remain unclear. We analyse a general vector-borne disease model and we show that whether seasonality has a positive or negative effect on pathogen persistence depends on which component of the pathogen's life-cycle is affected by these periodic fluctuations. We use a perturbation analysis framework to obtain useful approximations to evaluate the overall consequences of seasonality on the persistence of pathogens. These approximations allow us to better understand why seasonality in vector density or in the biting rate of the vector can have opposite effects on pathogen dynamics.