Colloquium (archives)

Les phénomènes d’interactions fluide-structure interviennent dans de nombreuses applications tant en aérodynamique qu’en biomécanique. En particulier, ils apparaissent dans l’étude des écoulements biologiques : écoulement sanguin dans les artères, écoulement de l’air dans l’appareil respiratoire. Le fluide interagit avec la structure, mobile ou déformable, qui en retour modifie l’écoulement. Ces phénomènes peuvent être décrits par un système d’edps qui, lorsque le fluide est décrit par les équations de Navier-Stokes et que la structure est élastique, est de type parabolique-hyperbolique. Il s’agit de systèmes non linéaires fortement couplés où l’interface entre le fluide et la structure est une inconnue du problème.

L'Analyse Topologique des Données (TDA) est un domaine récent qui connaît un succès croissant depuis quelques années. Il vise à comprendre, analyser et exploiter la structure topologique et géométrique de données complexes. Avec l'émergence de la théorie de la persistance homologique, la géométrie et la topologie ont fourni des outils mathématiques nouveaux et efficaces pour aborder ces questions. Dans cet exposé, nous introduirons quelques outils permettant de construire des descripteurs robustes de la topologie des données. Nous nous intéresserons à leurs propriétés (stabilité, statistiques) et nous illustrerons, sur quelques exemples applicatifs concrets, l’intérêt des approches topologiques pour l’analyse des données et l’apprentissage statistique.

Un système hamiltonien qui possède un point invariant elliptique non résonnant admet un invariant de conjugaison formel (au sens des séries formelles), sa forme normale de Birkhoff en ce point. Le système hamiltonien est ainsi formellement conjugué à sa forme normale de Birkhoff. Si cet invariant formel ainsi que la conjugaison formelle avaient une existence réelle cela aurait pour conséquence qu’au voisinage du point fixe toute orbite serait quasi-périodique, ce que l’on sait être faux depuis les travaux de Poincaré. Néanmoins, bien que formelle, cette forme normale de Birkhoff joue un rôle fondamental dans la compréhension de la dynamique du hamiltonien au voisinage du point fixe.

Après divers rappels sur les notions intervenant dans mon exposé, j'introduirai une notion de décomposition en anses pincées des complexes simpliciaux finis et en montrerai l'existence après subdivisions stellaires en des facettes. Ces décompositions généralisent les effeuillages classiques des bords de polytopes convexes par exemple. Par ailleurs, toute fonction de Morse discrète induit une telle décomposition sur la deuxième subdivision barycentrique tandis qu'inversement chaque décomposition en anses pincées encode elle-même une famille de fonctions de Morse discrètes compatibles.

Les travaux de Milnor et d'A'Campo dans les années 60 et 70 ont mis en évidence l'importance de l'action de la monodromie sur la fibre de Milnor des singularités d'hypersurfaces complexes. Après avoir présenté ces résultats, j'expliquerai comment ils sont à l'origine de développements récents ayant des connexions inattendues avec l'intégration motivique, la géométrie non-archimédienne et la géométrie symplectique.

The evolution of a gas can be described by different models depending on the observation scale. A natural question, raised by Hilbert in his sixth problem, is whether these models provide consistent predictions.

La géométrie sous-riemannienne offre une variété de situations dans lesquelles on aimerait étendre les résultats classiques de géométrie spectrale riemannienne (formule de Weyl, noyau de la chaleur, mesures semiclassiques ...). Plusieurs méthodes ont été développées qui aboutissent dans certains cas (Métivier, Menikoff-Sjöstrand, Helffer-Nourrigat, Morame ...). Je présenterai les particularités inhérentes à la géométrie sous-riemannienne, les approches microlocales mentionnées ci-dessus ainsi qu'une approche semi-groupe étudiée avec Yves Colin de Verdière et Emmanuel Trélat.