Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Le principe de Kontsevich-Rosenberg consiste à définir et comprendre des structures sur les algèbres associatives qui induisent des structures géométriques classiques sur leurs espaces de représentations. Les premières sont appelées versions "non-commutatives" des secondes. Ainsi, par exemple, les structures bisymplectiques introduites par Crawley-Boevey, Etingof et Ginzburg forment le pendant non-commutatif des structures Hamiltoniennes ; les structures double Poisson de Van den Bergh celui des variétés Poisson. Plus tard, dans le contexte des algèbres différentielles graduées, Brav et Dyckerhoff ont montré que l'analogue non-commutatif des structures symplectiques consistait en des structures dites Calabi-Yau (CY).

Small variations of doubled real algebraic varieties is a classical construction technique which has led to many interesting results, for instance regarding the topology of real algebraic surfaces in the three-dimensional real projective space. We highlight a slight variation of this technique, which roughly consists in applying it two times in a row, and discuss some of its applications. In particular, we explain how this method can be used to obtain different topological types of maximal quartic hypersurfaces in the four-dimensional real projective space.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à un important invariant de sous-variétés legendriennes des variétés de contact : l'algèbre de Chekanov-Eliashberg. Nous montrons qu'elle est munie d'une structure de Calabi-Yau dans le cas où la legendrienne est une sphère déplaçable. Pour obtenir ce résultat, nous définissons un complexe de chaînes (complexe de Rabinowitz) associé à une paire de sous-variétés legendriennes. Dans le cas où la paire est une 2-copie d'une sphère legendrienne, nous montrons que l'acyclicité du complexe de Rabinowitz est équivalente à l'existence d'une structure de Calabi-Yau sur l'algèbre de Chekanov-Eliashberg de la sphère legendrienne.

Le discriminant des polynômes homogènes F de degré d en n+1 variables est un polynôme en les coefficients de F qui s'annule si et seulement si l'hypersurface projective V(F) est singulière. Avec Laurent Busé nous introduisons un discriminant réduit : c'est un polynôme en les coefficients des polynômes F tels que l'hypersurface V(F) possède un point de multiplicité s en un point fixé de l'espace projectif, qui s'annule si et seulement si V(F) possède des singularités supplémentaires.

Do there exist 13 lines in the complex projective plane that only meet at triple points? I will discuss some topological ideas around this question and higher-degree variants.

Soient A un anneau et K un corps, commutatifs. On nomme, d'après Kuhn et en raison d'analogies avec la théorie classique des représentations K-linéaires des groupes, représentation générique sur K des groupes linéaires sur A tout foncteur des A-modules libres de rang fini vers les K-espaces vectoriels, ici supposés de dimension finie. De tels foncteurs, ainsi que des analogues (comme les FI-modules, dont la structure est plus facile à étudier) apparaissent naturellement dans plusieurs problèmes d'algèbre, de topologie ou de K-théorie.

Given a lagrangian link with k components in the disc, it is possible to define an associated Hofer norm on the braid group with k strands. In this talk we are going to detail this definition, and explain how it is possible to prove non degeneracy if k=2 and certain area conditions on the lagrangian link are met. The proof is based on the construction, using Quantitative Heegaard-Floer Homology, of a family of quasimorphisms which detect linking numbers of braids. Time permitting, we are also going to see how to extend the results to any compact surface with boundary. This talk is based on work of mine, and an ongoing project with Ibrahim Trifa (for the higher genus case).

We'll define stabilization for codim=2 contact manifolds of dim>3 contact manifolds so that the following holds: A contact manifold is overtwisted iff its "standard contact unknot" is a stabilization. This means that many dim=2n+1>3 contact manifolds contain dim=2n-1 spheres which are unknotted smoothly but "knotted" from a contact-topological point of view.

In a recent joint work with Joan Bellier-Millès, we set up a homotopy theory of curved algebras over curved operads in which one can implement (with the appropriate modifications) usual constructions such as the bar-cobar adjunction and André-Quillen cohomology. The occurrence of curved structures in various research topics (symplectic topology, deformation theory, derived geometry, mathematical physics...) motivate the development of their homotopy theory, cohomology theory and deformation theory.