Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

La série de Poincaré des champs de modules de fibrés semistables sur une courbe a été calculée par Laumon et Rapoport. Dans ce travail en commun avec Melissa Liu, nous montrons que la série de Hodge-Poincaré de ces champs peut être calculée d'une façon similaire. En guise d'application, nous obtenons une nouvelle démonstration d'un résultat obtenu en collaboration avec Erwan Brugallé, sur la maximalité des variétés de modules de fibrés vectoriels semistables sur une courbe réelle.

Les invariants complexes obtenus par l’énumération des courbes de genre g fixé dans une classe donnée passant par g points génériques dans une surface abélienne donnée diffèrent grandement des invariants correspondants dans le plan complexe. Bien que les valeurs pour les classes dites « primitives » soient connues depuis un certain temps, le calcul des valeurs pour les autres classes peut s’avérer particulièrement retors. L’approche tropicale permet de montrer une formule surprenamment courte donnant les valeurs et permettant d’occulter toute énumération concrète (et potentiellement longue et fastidieuse).

We consider a tropical analogue to the following question: given a smooth complex algebraic curve X of even genus 2g', how many isomorphism classes of non-constant rational maps f : X → ℂℙ¹ with deg f = g' + 1 are there? In this talk we introduce the relevant tropical objects and sketch a proof that, with the appropriate multiplicity, the tropical count coincides with the classical count. The main idea is to organize both the tropical maps and the tropical curves into moduli spaces, and prove that the space of maps covers the space of curves. The desired number is then the degree of this branched covering. By looking at a particular fiber in the covering, a fiber related to chains of loops, this count is calculated to be a number that appears frequently in combinatorics.

Dans cet exposé, nous étudions la topologie réelle des dégénérescences semi-stables totalement réelles. Le résultat principal est une borne pour les nombres de Betti individuels d'une fibre réelle lisse en termes de la géométrie complexe de la fibre dégénérée. L'ingrédient principal est l'utilisation de la géométrie logarithmique réelle, qui permet d'étudier dégénérescences qui ne sont pas nécessairement toriques, et donc de dépasser le cas de dégénérescences tropicales lisses, étudié par Renaudineau-Shaw. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Matilde Manzaroli.

Dans cet exposé, je présenterai quelques variantes de la normalisation de variétés affines réelles : la seminormalisation, la R-seminormalisation et la normalisation birégulière. Comme pour la normalisation, elles peuvent être obtenues par un procédé algébrique, elles possèdent des singularités bien particulières en codimension 1 et elles vérifient une propriété universelle. Cependant, ces variantes sont plus proches de la variété de départ que ne l'est la normalisation. Après avoir identifié leurs anneaux de coordonnées comme des anneaux de fonctions rationnelles possédant une certaine régularité, nous les comparerons entre elles et présenterons la façon dont elles modifient les singularités réelles et complexes de la variété.

On étudie le complété pour la métrique spectrale de l'espace des Lagrangiens d'une variété symplectique. On montre en particulier que les éléments de ce complété ont un support, et -- dans un travail commun avec M.-C. Arnaud et V. Humilière -- que dans le cas d'une dynamique dissipative ils fournissent un ensemble invariant qui généralise en dimension quelconque l'ensemble de Birkhoff pour les difféomorphismes dissipatifs de l'anneau.

Dans cet exposé, j'expliquerai brièvement comment construire des proxys de la fonction distance à un compact, à partir d'un nuage de points générés sur ce compact, avec du bruit. Ces proxys seront construits à partir d'un critère de type k-means. Leurs sous-niveaux seront des unions de boules ou d'ellipsoïdes.

J'introduirai également la notion géométrique de dimension de Vapnik-Chervonenkis, présenterai son calcul dans le cas particulier de certaines familles d'ellipsoïdes, et son application statistique pour les proxys.

Nous considérons comme ingrédients une grassmannienne complexe G(d,n) et une classe L dans son groupe d'homologie. Nous nous intéressons au problème de trouver des sous-variétés algébriques (sous-schémas fermés intégraux) de G(d,n) de classe d'homologie L, mais qui sont aussi invariantes sous l'action du tore maximal T de G(d,n).

Nous verrons que ce problème est gouverné par des objets discrets appelés matroïdes, et nous le résoudrons complètement pour le cas des T-orbites.

Puis nous étudierons le même problème pour la Grassmannienne symplectique de droites SpG(2,2n), qui est gouvernée par des objets discrets appelés matroïdes symplectiques de rang 2.