Stage de M1 : introduction à la (co)homologie des groupes (discrets)

Il s'agit de comprendre la définition, les premières propriétés et quelques exemples simples de calcul de la (co)homologie des groupes discrets. Celle-ci peut se voir de façon topologique, comme la (co)homologie singulière d'un espace topologique naturellement associé au groupe, appelé classifiant du groupe, ou algébrique (point de vue qu'on privilégiera plutôt), comme extension graduée (dérivée) du foncteur associant à une représentation du groupe le groupe abélien de ses invariants (pour la cohomologie) ou de ses coïnvariants (pour l'homologie). Cette extension est destinée à pallier le défaut de préservation des suites exactes par ces foncteurs ; elle intervient fréquemment en topologie algébrique et dans de nombreux domaines de l'algèbre. Pour les bases, on pourra suivre le livre de C. Weibel An introduction to homological algebra (le minimum étant de comprendre les chapitres 1 et 2, une partie du 3 et le 6 jusqu'au §6.7). Une fois les définitions et premières propriétés assimilées, on étudiera l'identification fonctorielle de la (co)homologie des groupes abéliens à coefficients dans un corps. Si le temps le permet, on se penchera sur un ou deux exemples de calculs plus avancés, autour des groupes linéaires. On pourrait par exemple étudier la démonstration de Quillen de la trivialité de l'homologie du groupe linéaire infini sur un corps fini de caractéristique p à coefficients dans Z/p (On the cohomology and K-theory of the general linear groups over a finite field, Annals of Math. 1972, §11), ou des cas particuliers de résultats d'annulation d'homologie à coefficients dans une représentation polynomiale du groupe linéaire infini dus à Betley (début de l'article Vanishing theorems for homology of GlnR, JPAA 1989, par exemple).