Gilles Carron - janvier-avril 2017
Introduction à l’analyse sur les variétés riemanniennes
Dans ce cours, on introduira des outils fondamentaux nécessaires à l’étude moderne de la géométrie
des variétés. L’étude des surfaces minimales sera le fil conducteur de ce cours.
Un des objectifs de ce cours sera de démontrer la solution récente de S. Brendle de la conjecture de Lawson à propos des tores minimaux dans la sphère ronde de dimension 3.
Quelques références :
- T. Colding, W. Minicozzi :A course in minimal surfaces, Graduate Studies in Math., vol. 121, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011
- S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine : Riemannian Geometry, 3rd ed. Universitext. Berlin: Springer, 2004.
- D. Gilbarg, N. Trudinger: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Classics in Mathematics. Springer-Verlag: Berlin, 2001. Reprint of the 1998 edition
- J. Milnor : Morse Theory. Annals of Mathematics Studies 51. Princeton University Press, 1963.
- R. Osemann : A survey on minimal surfaces (Dover Publications, New York, 1986)
- P. Petersen : Riemannian geometry. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 171. Springer, New York, 2006.
- M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Vol. I-II-III-IV-V, second ed., Publish or Perish, Inc., Wilmington, Del, 1979
- M. Taylor : Partial Differential Equations, Vol. I-II-III, Applied Mathematical Sciences, vol 115-116-117 Springer, 1996
Videos du cours :
premier cours :
Au programme : Équation de Lagrange, courbure moyenne, exemples et définition de la divergence d'un champ de vecteurs
second cours: Au programme : Laplacien, principe du maximum, confinement des surfaces minimales, structure complexe
troisième cours: Au programme : (seulement la seconde moitié du cours a pu être enregistré) Structure complexe sur les tores, uniformisation de Gauss (existence de coordonnées isothermes, holomorphie de l'application de Gauss et représentation de Weiestrass-Enneper.
quatrième cours : Pas de vidéos disponible au programme fin sur la représentation de Weiestrass-Enneper et introduction au revêtement universel, groupe fondamental. Pour plus de précisions sur ce dernier point, nous conseillons le cours de F. Laudenbach et F. Wagemann:
cinquième cours : Video: on discute du revetement universel, de l'action du groupe fondamental et du lien avec la cohomologie de de Rham.
Dans la video suivante: on calcule la variation seconde de l'aire et on montre que les graphes minimaux sont stables et même minimisant parmi les graphes.
sixième cours : Video: on définit l'extension auto-adjointe des opérateurs de Schrödinger (dite extension de Friedrichs) et on donne une idée de l'espace de Sobolev des "fonctions" ayant une dérivée de carré intégrable.
septième cours Video: On étudie la théorie spectrale des opérateurs de Schrödinger, la stabilité des surfaces minimales et on démontre le théorème de Bernstein.
Huitième cours Video: On étudie le problème de Plateau.
Laurent Meersseman - janvier-mars 2015
Espaces de modules en géométrie analytique et différentielle
Le but de ce cours est, après avoir démontré les outils analytiques fondamentaux que sont le théorème d'approximation d'Artin et celui de Kuranishi, de donner des exemples d'espaces de modules (globaux) en géométrie analytique et différentielle. Si le temps le permet, on parlera de l'espace des métriques riemanniennes sur une variété compacte, de l'espace des connexions ASD sur une 4-variété riemannienne,et de l'espace de Teichmüller d'une variété hyperkählérienne, dans un ordre qui reste à établir.
Programme succinct :
1) Foncteur de déformations et théorème d'approximation d'Artin.
2) Généralités sur les opérateurs différentiels.
3) Aspect local : théorème de Kuranishi.
4) Espace des métriques riemanniennes.
5) Espace des connexions ASD sur une 4-variété riemannienne.
6) Variétés hyperkählériennes : généralités, théorème de Bogomolov-Tian-Todorov.
7) Espace de Teichmüller des tores et des variétés hyperkählériennes.
Vidéos du cours (chaque video dure environ 1H20) :
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9-10 (written version)
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Francois Nicoleau - Janvier-Avril 2014
Théorie spectrale Avancée
Il s’agit d’un cours avancé de théorie spectrale des opérateurs. Les sujets abordés seront les suivants :
- Rappels sur les opérateurs bornés
- Le théorème spectral
- Opérateurs non bornés. Opérateurs auto-adjoints
- Estimations de Mourre
- Introduction à la théorie de la diffusion.
Vidéos du cours : disponible sur demande à l'auteur francois.nicoleau@univ-nantes.fr