Deug 1 SV/ST 1999-2000 Math. M1B Série 10

Variables aléatoires (II)

Exercice 1) Un test de type QCM comporte 20 questions, et, pour chacune d’elle, propose 4 réponses, dont seule une est correcte. Le candidat doit cocher une seule réponse à chaque question. La note obtenue est le nombre de bonnes réponses. Soit X la variable aléatoire donnant la note d’un candidat répondant au hasard à toutes les questions.

a) Quelles sont la loi, l’espérance et l’écart-type de X.

b) Calculer la probabilité pour un tel candidat d’être reçu : P (X ≥ 10) ; d’être collé : P (X < 08) ; ou de devoir se présenter à la seconde session : P (08 ≤ X < 10).

c) Reprendre ces calculs en approchant la loi de X par une loi normale.

Exercice 2) Pour compter le nombre N de globules rouges dans un échantillon sanguin observé au microscope, on utilise un oculaire réticulé : le champ microscopique est divisé en C cases. Soit K la variable aléatoire donnant le nombre de globules dans une case.

a) On suppose que chacun des N globules “choisit” une case au hasard. Quelle est la loi de K ? Quelle est la probabilité de compter 0,1,2 et 3 globule dans une case quand N = 800 et C = 400.

b) On suppose que K suit une loi de Poisson. Comment choisir son paramètre ? Calculer les valeurs de P (K = i) pour i = 0, …, 3 et comparer avec les résultats précédents.

c) Évaluer N si, parmi les C = 400 cases, 33 sont vides.

Exercice 3) On constate que la distance X (en m.) à laquelle un athlète lance le poids est une variable aléatoire, prenant ses valeurs dans l’intervalle [18, 20], et ayant une densité de probabilité f continue sur ℝ et proportionnelle à sin((x − 18)π/2) sur [18, 20].

a) Déterminer la fonction de répartition F de X, et tracer sa courbe représentative. Calculer l’espérance et l’écart-type de X, ainsi que P (X ≥ 19,5).

b) L’épreuve de qualification comporte trois lancer. Si son meilleur essai dépasse 19,5 m., l’athlète se qualifie. Quelle est la probabilité de se qualifier ? Et si il avait droit à dix essai ?

Exercice 4) Un parking contient n places où le stationement est autorisé pendant t_{M} minutes au maximum. À l’instant 0, toute les places sont occupées, et un automobiliste arrive. On admet qu’à partir de cet instant, la durée T_{i} d’occupation de la place numerotée i est une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, t_{M}], et que ces variables aléatoires sont indépendantes (i varie de 1 à n). On note T la variable aléatoire donnant le temps d’attente de l’automobiliste.

a) Quelle est la fonction de répartition des variables T_{i} ?

b) Quelle est la fonction de répartition de la variable T, son espérance et sa variance ?

c) Si la durée du stationement autorisé est de 30 minutes maximum, combien faut-il prévoir de places dans le parking pour que le temps d’attente soit en moyenne inférieur à une minute ?