\documentclass[a4paper,12pt,onecolumn,notitlepage,twoside]{td}

\author{depauw} 
\date{Série 10} 
\annee{1999-2000} 
\diplome{Deug 1
SV/ST} 
\cours{Math. M1B} 
\seance{Variables aléatoires (II)}


\begin{document} 
\maketitle 

\exo
Un test de type QCM comporte 20 questions, 
et, pour chacune d'elle, propose 4 réponses, dont seule une est correcte.
Le candidat doit cocher une seule réponse à chaque question. La note
obtenue est le nombre de bonnes réponses.
Soit $X$ la variable aléatoire donnant la note d'un candidat répondant au
hasard à toutes les questions.
\sexo Quelles sont la loi, l'espérance et l'écart-type de $X$.
\sexo Calculer la probabilité pour un tel candidat d'être reçu : $P(X\geq10)$ ;
d'être collé : $P(X<08)$ ;
ou de devoir se présenter à la seconde session : $P(08\leq X<10)$.
\sexo Reprendre ces calculs en approchant la loi de $X$ par une loi normale.

\exo
Pour compter le nombre $N$ de globules rouges dans un échantillon
sanguin observé au microscope, on utilise un oculaire réticulé : 
le champ microscopique est divisé en $C$ cases. 
Soit $K$ la variable aléatoire donnant le nombre de globules dans une case.  
\sexo On suppose que chacun des $N$ globules ``choisit'' une case au hasard.
Quelle est la loi de $K$ ?  
Quelle est la probabilité de compter 0,1,2 et 3 globule dans une case 
quand $N=800$ et $C=400$.
\sexo On suppose que $K$ suit une loi de Poisson. 
Comment choisir son paramètre ?  
Calculer les valeurs de $P(K=i)$ pour $i=0,\ldots,3$ et comparer avec les résultats précédents.
\sexo Évaluer $N$ si, parmi les $C=400$ cases, $33$ sont vides.

\exo
On constate que la distance $X$ (en m.) à laquelle un athlète lance le
poids est une variable aléatoire, prenant ses valeurs dans
l'intervalle $[18,20]$, et ayant une densité de probabilité $f$
continue sur $\R$ et proportionnelle à $\sin((x-18)\pi/2)$ sur $[18,20]$.
\sexo Déterminer la fonction de répartition $F$ de $X$, 
et tracer sa courbe représentative.
Calculer l'espérance et l'écart-type de $X$, ainsi que $P(X\geq\text{19,5})$.
\sexo L'épreuve de qualification comporte trois lancer. 
Si son meilleur essai dépasse 19,5 m., l'athlète se qualifie. Quelle est la 
probabilité de se qualifier ? Et si il avait droit à dix essai ?

\exo
Un parking contient $n$ places où le stationement est autorisé pendant
$t_M$ minutes au maximum. 
À l'instant 0, toute les places sont occupées, et un automobiliste arrive.
On admet qu'à partir de cet instant, la durée $T_i$ d'occupation de la place
numerotée $i$ est une variable aléatoire de loi uniforme sur $[0,t_M]$,
et que ces variables aléatoires sont indépendantes ($i$ varie de 1 à $n$).
On note $T$ la variable aléatoire donnant le temps d'attente de 
l'automobiliste.
\sexo Quelle est la fonction de répartition des variables $T_i$ ?
\sexo Quelle est la fonction de répartition de la variable $T$, son espérance
et sa variance ?
\sexo Si la durée du stationement autorisé est de 30 minutes maximum, 
combien faut-il prévoir de places dans le parking 
pour que le temps d'attente soit en moyenne inférieur à une minute ?


\end{document}
