Deug 1 SV/ST 2000-2001 Math. M1B Série 11

Développements limités. Équations différentielles

Exercice 1)

a) Donner le développement limité à l’ordre 3 en 0 des fonctions f(x) = (3 − 2x)^{−1} et g(x) = ln(1 − x).

b) Donner le développement limité à l’ordre 2 en π/4 de la fonction tangente.

c) Donner le dévellopement limité à l’ordre 5 en x = 1 de la fonction x ↦ sin(πx). (Poser h = π(x − 1) peut simplifier les calculs)

Exercice 2)

a) Donner le développement limité à l’ordre 1 en x → 0 des expressions A = (4^{−1}−x)^{1/2} et B = x^{−2}(cos(x) − 1)

b) En déduire la limite quand x tend vers 0 de C = \frac{1}{x} (\sqrt{\frac{1}{4} − x} + \frac{cos(x)−1}{x^{2}}).

Exercice 3)

a) Donner le dévellopement limité à l’ordre 3 en 0 de la fonction f(x) = cos(3x)−1+3x^{3}.

b) En déduire la limite quand x → 0 de (x^{2} + x^{4})^{−1}f(x).

Exercice 4) (Approximation de Poisson) Soit X une variable aléatoire suivant une loi binômiale de paramètres n et p = π/n. On veut justifier, sur cet exemple, l’approximation de cette loi, quand n tend vers l’infini, par la loi de Poisson de paramètre π .

a) Pour tout k ∈ ℕ fixé, donner le développement limité à l’ordre 0 en x = (1/n) → 0 de P (X = k).

b) Donner le développement limité à l’ordre 1 en x = (1/n) → 0 de P (X = 3).

c) Donner le développement limité à l’ordre 2 en x = (1/n) → 0 de P (X = 0).

Exercice 5) Resoudre les équations différentielles :

a) 2yy′ = 1 + y^{2}, y(0) = 1.

b) (y′ − y) cos(x) + (y − e^{x}) sin(x) = 0.

c) e^{−x}y′ − (1 + e^{x})^{−1}y = 1 + e^{x}, y(0) = 4.

d) (1 + x^{2})y′ − 2xy = (1 + x^{2})^{2} cos(x), y(0) = 1.

e) (x^{2} + 4)y′ − 2xy = (x^{2} + 4)^{2}e^{x}.

f) (x^{2}+1)y′−y = 3x^{4}−x^{3}+x^{2}+2x−2, y(0) = 1. On cherchera une solution particulière sous la forme d’un polynôme de degré 3.

Exercice 6) Resoudre les équations différentielles :

a) y′′ − 5y + 6y = sin(x).

b) y′′ + 2y′ + 5y = 8e^{x}.

c) 3y′′ + 2y′ + y/3 = 50 cos(x).

d) y′′ + 2y′ + 2y = x^{2} + 1.

e) 4y′′ − 4y′ + y = − cos(x), y(0) = 28/25, y′(0) = 0.