\documentclass[a4paper,12pt,onecolumn,notitlepage,twoside]{td}

\author{depauw}
\date{Série 11}
\annee{2000-2001}
\diplome{Deug 1 SV/ST}
\cours{Math. M1B}
\seance{Développements limités. \\
  Équations différentielles}

%\usepackage{tex4ht}

\begin{document}
\maketitle

\exo
\sexo Donner le développement limité à l'ordre 3 en 0 des fonctions
$f(x)=(3-2x)^{-1}$ et $g(x)=\ln(1-x)$.
%, \quad g(x)=\frac{1}{3-2x}, \quad h(x)=\sin(\pi x).$$
\sexo Donner le développement limité à l'ordre 2 en $\pi/4$ de la fonction
tangente.
\sexo Donner le dévellopement limité à l'ordre 5 en $x=1$ de la
fonction $x\mapsto \sin(\pi x)$. (Poser $h=\pi(x-1)$ peut simplifier
les calculs)

\exo
\sexo
Donner le développement limité à l'ordre 1 en $x\to 0$ des expressions
$A=(4^{-1}-x)^{1/2}$ et $B=x^{-2}(\cos(x)-1)$
\sexo
En déduire la limite quand $x$ tend vers 0 de 
$C=\frac{1}{x}\left(\sqrt{\frac{1}{4}-x}+\frac{\cos(x)-1}{x^2}\right)$.

\exo
\sexo Donner le dévellopement limité à l'ordre 3 en 0 de la
fonction $f(x)=\cos(3x)-1+3x^3$. 
\sexo En déduire la limite quand $x\to 0$ de $(x^2+x^4)^{-1}f(x)$.
%
%\exo
%Donner le développement limité à l'ordre 1 en $(1/x)\to 0$ de
%$$ \frac{4x^2+8x+4}{x^2-3x+2}.$$

\exo (Approximation de Poisson)
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binômiale de paramètres
$n$ et $p=\pi/n$. On veut justifier, sur cet exemple, 
l'approximation de cette loi, quand $n$ tend vers l'infini, 
par la loi de Poisson de paramètre $\pi$ .
\sexo
Pour tout $k\in\N$ fixé,
donner le développement limité à l'ordre 0 en $x=(1/n)\to 0$ de
$P(X=k)$.
\sexo
Donner le développement limité à l'ordre 1 en $x=(1/n)\to 0$ de
$P(X=3)$.
\sexo
Donner le développement limité à l'ordre 2 en $x=(1/n)\to 0$ de
$P(X=0)$.
%
%\exo(1994)
%Résoudre $4y''-4y'+5y=0$, $y(0)=2$, $y'(0)=0$.

\exo Resoudre les équations différentielles :
\sexo $2yy'=1+y^2$, $y(0)=1$.
\sexo $(y'-y)\cos(x)+(y-e^x)\sin(x)=0$.
\sexo $e^{-x}y'-(1+e^x)^{-1}y=1+e^x$, $y(0)=4$.
\sexo $(1+x^2)y'-2xy=(1+x^2)^2\cos(x)$, $y(0)=1$.
\sexo $(x^2+4)y'-2xy=(x^2+4)^2e^x$.
\sexo $(x^2+1)y'-y=3x^4-x^3+x^2+2x-2$, $y(0)=1$.
On cherchera une solution particulière sous la forme
d'un polynôme de degré 3.

\exo Resoudre les équations différentielles :
\sexo $y''-5y+6y=\sin(x)$.
\sexo $y''+2y'+5y=8e^x$.
\sexo $3y''+2y'+y/3=50\cos(x)$.
\sexo $y''+2y'+2y=x^2+1$.
\sexo $4y''-4y'+y=-\cos(x)$, $y(0)=28/25$, $y'(0)=0$.

\end{document}
