Deug 1 SV/ST 2000-2001 Math. M1B Série 12

Estimations et tests

Exercice 1) On mesure la force de compression d’un ciment en moulant de petits cylindres et en mesurant la pression X (exprimée en kg.cm^{−2}) à partir de laquelle ils se brisent. À partir des mesures sur un échantillon de 10 cylindres, on a calculé une moyenne statistique x̄ = 19, 72 et une variance V (x) = 0, 6096.

a) Donner une estimation, puis un intervalle de confiance de seuil 0, 1, pour l’espérance E(X) et pour la variance σ^{2}(X). Comment faudrait-il modifier la taille de l’échantillon pour que l’intervalle de confiance au même seuil soit réduit de moitié ?

b) Tester, au risque 0, 05, les hypothèses H1 : E(X) = 20, 0 et H2 : σ^{2}(X) = 0, 5.

c) On suppose de plus que la variance σ^{2}(X) vaut 0,69. Donner un nouvel intervalle de confiance pour l’espérance, correspondant au risque de 0,1.

d) On suppose que l’espérance E(X) est connue et égale à 19, 0, et que l’on dispose de la série statistique complète. Expliquer comment on pourrait en tirer parti pour estimer la variance et donner aun intervalle de confiance au risque de 0, 1.

Exercice 2) Un laboratoire d’agronomie a effectué une étude sur le maintien du pouvoir germinatif des graines de Papivorus subaquaticus après une conservation de trois ans. Sur un lot de 80 graines, 47 ont germé. Donner, au risque d’erreur de 5%, un intervalle de confiance pour la probabilité de germination des graines de Papivorus subaquaticus après une conservation de trois ans.

Exercice 3) Une roulette possède 37 numéros. Sur 10^{4} parties, le zéro est sorti 298 fois. On admet que la sortie du zero est une variable aléatoire de Bernoulli.

a) On considère l’hypothèse simple : «le zéro sort avec une probabilité de 1/37». Avec un risque de 5%, peut-on accepter l’hypothèse ?

b) On considère l’hypothèse : «le zéro sort avec une probabilité de 1/37 (et donc ne sort pas avec la probabilité 36/37)». Avec un test du χ^{2}, peut-on accepter l’hypothèse, avec un risque de 5% ?

Exercice 4) Selon la théorie Mendélienne de l’hérédité, on prévoit qu’en croisant deux types de plantes, on doit obtenir des variétés de quatre types, (disons S,T,U et V) avec une probabilité respective de 9/16, 3/16, 3/16 et 1/16. À la suite d’une expérience, on obtient 154 plants de type S, 44 de type T, 63 de type U et 21 de type D.

Peut-on accepter l’hypothèse que l’échantillon obtenu est conforme à la théorie Mendélienne, avec un risque de 5%.

Exercice 5) On a étudié la répartition du poids de 100 jeunes gens :

Poid en kg 40  45  50  55  60  65  70  75
Fréquence  5  12  31  31  16  3  2

a) Estimer les paramètres de la loi normale qui modélise ces observations.

b) Tester l’hypothèse de conformité à cette loi par un test du χ^{2} au risque de 5%.

Exercice 6) En reprenant les données de l’exercice 6 de la série 6, tester au risque de 0, 01 l’hypothèse : «Les notes du début de l’année et de la fin de l’année sont indépendantes»