\documentclass[a4paper,12pt,onecolumn,notitlepage,twoside]{td}

\author{depauw} 
\date{S�rie 12} 
\annee{2000-2001} 
\diplome{Deug 1
SV/ST} 
\cours{Math. M1B} 
\seance{Estimations et tests}


\begin{document} 
\maketitle 

\exo
On mesure la force de compression d'un ciment en moulant de petits 
cylindres et en mesurant la pression $X$ (exprim�e en kg.cm$^{-2}$) 
� partir de laquelle ils se brisent.  � partir des mesures sur un 
�chantillon de 10 cylindres, on a calcul� une moyenne statistique 
$\bar x=19,72$ et une variance $V(x)=0,6096$.
%Voici les pressions obtenues pour 10 cylindres : 
%\begin{center}
%\begin{tabular}{cccccccccc}
%%\hline
%19,6 & 19,9 & 20,4 & 19,8 & 20,5 & 21,0 & 18,5 & 19,7 & 18,4 & 19,4 \\
%%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
\sexo Donner une estimation, puis un intervalle de confiance de seuil $0,1$, 
pour l'esp�rance $E(X)$ et pour la variance $\sigma^2(X)$.
Comment faudrait-il modifier la taille de l'�chantillon pour
que l'intervalle de confiance au m�me seuil soit r�duit de moiti� ?
\sexo
Tester, au risque $0,05$, 
les hypoth�ses $H1 : E(X)=20,0$ et $H2 : \sigma^2(X)=0,5$.
%\sexo Donner une estimation, puis un intervalle de confiance de seuil 0,1,
%pour la variance $\sigma^2(X)$.
\sexo On suppose de plus que la variance $\sigma^2(X)$ vaut 0,69. 
Donner un nouvel intervalle de confiance pour l'esp�rance, 
correspondant au risque de 0,1.  
%Comparer avec le r�sultat pr�cedent.
\sexo On suppose que l'esp�rance $E(X)$ est connue et �gale � $19,0$,
et que l'on dispose de la s�rie statistique compl�te.
Expliquer comment on pourrait en tirer parti pour estimer la
variance et donner aun intervalle de confiance au risque de $0,1$.

\exo
Un laboratoire d'agronomie a effectu� une �tude sur le maintien du 
pouvoir germinatif des graines de \emph{Papivorus subaquaticus} 
apr�s une conservation de trois ans.  
Sur un lot de 80 graines, 47 ont germ�.
Donner, au risque d'erreur de 5\%, un intervalle de confiance
pour la probabilit� de germination des graines de 
\emph{Papivorus subaquaticus} apr�s une conservation de trois ans.

\exo
Une roulette poss�de 37 num�ros. Sur $10^4$ parties, le z�ro est
sorti 298 fois. On admet que la sortie du zero est une variable 
al�atoire de Bernoulli. 
\sexo On consid�re l'hypoth�se simple~: 
�le z�ro sort avec une probabilit� de 1/37�.
Avec un risque de 5\%, peut-on accepter l'hypoth�se ?
\sexo On consid�re l'hypoth�se~: 
�le z�ro sort avec une probabilit� de 1/37 (et donc ne sort pas avec la
probabilit� 36/37)�.
Avec un test du $\chi^2$, peut-on accepter l'hypoth�se, 
avec un risque de 5\% ?

\exo %(Test de conformit� par la technique du $\chi^2$)
Selon la th�orie Mend�lienne de l'h�r�dit�, on pr�voit qu'en croisant deux
types de plantes, on doit obtenir des vari�t�s de quatre types, (disons
S,T,U et V) avec une probabilit� respective de 9/16, 3/16, 3/16 et 1/16.
� la suite d'une exp�rience, on obtient 154 plants de type S, 44 de type T,
63 de type U et 21 de type D.

Peut-on accepter l'hypoth�se que l'�chantillon obtenu est conforme �
la th�orie Mend�lienne, avec un risque de 5\%.


%\exo Peu avant une �lection, deux journaux publient chacun une enqu�te sur
%les intentions de vote en faveur d'un candiat Z.
%\sexo
%L'enqu�te du journal du matin r�v�le que, sur les 100 personnes interrog�es, 
%53 ont d�clar� une intention favorable � Z.
%Le journal en conclut que Z sera �lu � la majorit� absolue.
%Quelle est le risque qu'il se trompe ?
%\sexo
%L'enqu�te du journal du soir porte sur 1000 personnes et indique
%53,3\% de voix pour Z. Peut-il publier la m�me conclusion que son confr�re,
%avec un risque de 0,05 ? 
%
%\emph{(Soigner particuli�rement la mod�lisation et de r�daction)}
\exo %(Test de conformit� par la technique du $\chi^2$)
On a �tudi� la r�partition du poids de 100 jeunes gens :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*{15}{c}|}
\hline
Poid en kg & 40&&45&&50&&55&&60&&65&&70&&75\\
Fr�quence & &5&&12&&31&&31&&16&&3&&2& \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\sexo Estimer les param�tres de la loi normale qui mod�lise ces observations.
\sexo Tester l'hypoth�se de conformit� � cette loi par un test du $\chi^2$ 
au risque de $5\%$.

\exo En reprenant les donn�es de l'exercice 6 de la s�rie 6, tester au
risque de $0,01$ l'hypoth�se : �Les notes du d�but de l'ann�e et de la fin
de l'ann�e sont ind�pendantes�

\end{document}
