Deug 1 SV/ST 1999-2000 Math. M1B Série 13

Équations différentielles

Exercice 1)

a) Résoudre y′ = ky + 1 − xe^{−x} (discuter selon la valeur de k).

b) Résoudre \frac{d}{ds}y = sy + 1. Exprimer la solution qui vérifie y(0) = 0 à l’aide de la fonction de répartition F_{0} de la loi normale centrée réduite.

Exercice 2) (Unicité, existence locale et globale)

a) Montrer que l’équation différentielle t^{3}y′ − 2y = 0 admet une infinité de solutions telles que y(0) = 0, et aucune telle que y(0) ≠ 0.

b) Montrer que toutes les solutions de l’équation différentielle y′ = 1 + y^{2} sont définies sur des intervalles de longueur finie.

Exercice 3) (Modèles de croissance et de population)

Dans cet exercice, k est un coefficient réel, et y_{0} une valeur typique de la quantité y, réelle positive. Pour chaque modèle, chercher les solutions telle que y(0) = 2y_{0} et telle que y(0) = y_{0}/2, et leur limite en x → ∞.

a) (Modèle logistique) y′ = ky(y_{0} − y) ;

b) (Modèle de Gompertz) y′ = ky ln(y_{0}/y) ;

c) (Modèle de Richard) y′ = ky(1 − (y/y_{0})^{α−1})/(α − 1) ; on pourra rechercher d’abord la fonction z = y^{α−1}.

Exercice 4) (Oscillateur harmonique)

On considère un objet de masse m > 0, accroché à un ressort de coefficient de rappel k > 0, et soumis quand il bouge à un frottement visqueux de coefficient f ≥ 0. Si de plus cet objet est soumis à une force exterieure g dépendant du temps t, son abscisse y vérifie l’équation différentielle

m\frac{d^{2}}{dt^{2}} y + f \frac{d}{dt}y + ky = g(t).

a) En l’absence de force extérieure et de frottement, montrer que toutes les solutions sont périodiques, de même fréquence ω (appl. num. : y′′ + 2y = 0).

b) Si g(t) = 0 mais f > 0, montrer que toutes les solutions et leur dérivée tendent vers 0 quand t tend vers l’infini.

Montrer qu’il existe f_{0} tel que pour f < f_{0}, les solutions oscillent sans arrêt (appl. num. : y′′ + 2y′ + 2y = 0), tandis que pour f > f_{0} elles oscillent au plus une fois (appl. num. : y′′ + 3y′ + 2y = 0).

Que se passe-t-il pour f = f_{0} (appl. num. : y′′ + 2^{3/2}y′ + 2y = 0) ?

c) Avec g(t) = K sin(μt), et f > 0, montrer que toutes les solutions tendent vers une solution particulière de la forme y(t) = A sin(μt + ϕ) que l’on déterminera.

Étudier les variations de A en fonction de μ, en discutant selon les valeurs du paramètre f (appl. num. : pour y′′ + \sqrt{2}y′ + 2y = sin(μt), y′′ + 2y′ + 2y = cos(μt) et y′′ + 3y′ + 2y = sin(μt) + cos(μt), représenter la fonction μ ↦ A).

d) Encore avec g(t) = K sin(μt), observe-t-on le même comportement si f = 0 (appl. num. : y′′ + 2y = sin(μt)) ?