\documentclass[a4paper,12pt,onecolumn,notitlepage,twoside]{td}

\author{depauw}
\date{Série 13}
\annee{1999-2000}
\diplome{Deug 1 SV/ST}
\cours{Math. M1B}
\seance{Équations différentielles}

\begin{document}
\maketitle

\exo
\sexo Résoudre $y'=ky+1-xe^{-x}$ (discuter selon la valeur de $k$).
\sexo Résoudre $\frac{d}{ds}y=sy+1$. 
Exprimer la solution qui vérifie $y(0)=0$ à l'aide 
de la fonction de répartition $F_0$ de la loi normale centrée réduite.

\exo (Unicité, existence locale et globale)
\sexo Montrer que l'équation différentielle $t^3y'-2y=0$
admet une infinité de solutions telles que $y(0)=0$, 
et aucune telle que $y(0)\neq 0$.
\sexo Montrer que toutes les solutions de l'équation différentielle 
$y'=1+y^2$ sont définies sur des intervalles de longueur finie.

\exo (Modèles de croissance et de population)

Dans cet exercice, $k$ est un coefficient réel, et $y_0$
une valeur typique de la quantité $y$, réelle positive.
Pour chaque modèle, chercher les solutions telle que $y(0)=2y_0$ et
telle que $y(0)=y_0/2$, et leur limite en $x\to\infty$.
\sexo (Modèle logistique) $y'=ky(y_0-y)$ ;
\sexo (Modèle de Gompertz) $y'=ky\ln(y_0/y)$ ;
\sexo (Modèle de Richard) $y'=ky(1-(y/y_0)^{\alpha-1})/(\alpha-1)$ ; 
on pourra rechercher d'abord la fonction $z=y^{\alpha-1}$.

\exo (Oscillateur harmonique)

On considère un objet de masse $m>0$, 
accroché à un ressort de coefficient de rappel $k>0$, 
et soumis quand il bouge à un frottement visqueux de coefficient $f\geq 0$. 
Si de plus cet objet est soumis à une force exterieure $g$ 
dépendant du temps $t$, 
son abscisse $y$ vérifie l'équation différentielle 
$$ m\frac{d^2}{dt^2}y+f\frac{d}{dt}y+ky=g(t).$$
\sexo En l'absence de force extérieure et de frottement, montrer que toutes
les solutions sont périodiques, de même fréquence $\omega$ 
(appl. num.~: $y''+2y=0$).
\sexo Si $g(t)=0$ mais $f>0$, montrer que toutes les solutions et
leur dérivée tendent vers 0 quand $t$ tend vers l'infini.

Montrer qu'il existe $f_0$ tel que pour $f<f_0$, 
les solutions oscillent sans arrêt 
(appl. num.~: $y''+2y'+2y=0$),
tandis que pour $f>f_0$ elles oscillent au plus une fois
(appl. num.~: $y''+3y'+2y=0$).

Que se passe-t-il pour $f=f_0$
(appl. num.~: $y''+2^{3/2}y'+2y=0$)~?

\sexo Avec $g(t)=K\sin(\mu t)$, et $f>0$,
montrer que toutes les solutions tendent vers une solution  particulière
de la forme $y(t)=A\sin(\mu t+\phi)$ que l'on déterminera. 

Étudier les variations de $A$ en fonction de $\mu$, 
en discutant selon les valeurs du paramètre $f$
(appl. num.~: pour $y''+\sqrt{2}y'+2y=\sin(\mu t)$, 
$y''+2y'+2y=\cos(\mu t)$ 
et $y''+3y'+2y=\sin(\mu t)+\cos(\mu t)$,
représenter la fonction $\mu\mapsto A$).

\sexo Encore avec $g(t)=K\sin(\mu t)$, observe-t-on le même comportement 
si $f=0$ (appl. num.~: $y''+2y=\sin(\mu t)$) ?


\end{document}
