Deug 1 SV/ST 1999-2000 Math. M1B Série 14

Tests

Exercice 1) Le prix X d’un même article relevé au hasard dans 15 épiceries de la ville donne ceci :

42,7 42,6 43,0 43,5 42,8 43,1 43,6 42,9 41,6 42,8 42,9 43,2 42,6 43,1 43,1

On admet que X est une variable aléatoire suivant une loi gaussienne. On fixe les risques à 5%.

a) Peut-on admettre l’hypothèse E(X) =43,0 ?

b) Peut-on admettre l’hypothèse V (X) =0,1 ?

Exercice 2) Une roulette possède 37 numéros. Sur 10^{4} parties, le zéro est sorti 298 fois. On admet que la sortie du zero est une variable aléatoire de Bernoulli.

a) On considère l’hypothèse simple : «le zéro sort avec une probabilité de 1/37». Avec un risque de 5%, peut-on accepter l’hypothèse ?

b) On considère l’hypothèse : «le zéro sort avec une probabilité de 1/37 (et donc ne sort pas avec la probabilité 36/37)». Avec un test du χ^{2}, peut-on accepter l’hypothèse, avec un risque de 5% ?

Exercice 3) Selon la théorie Mendélienne de l’hérédité, on prévoit qu’en croisant deux types de plantes, on doit obtenir des variétés de quatre types, (disons S,T,U et V) avec une probabilité respective de 9/16, 3/16, 3/16 et 1/16. À la suite d’une expérience, on obtient 154 plants de type S, 44 de type T, 63 de type U et 21 de type D.

Peut-on accepter l’hypothèse que l’échantillon obtenu est conforme à la théorie Mendélienne, avec un risque de 5%.

Exercice 4) Pour justifier la loi de Gompertz modélisant l’extinction des populations, K. Miescher a mesuré l’évolution, au cours du temps, du nombre de rats vivants, dans un élevage qu’il commença avec 144 rats en 1953. Le tableau suivant donne le nombre N de rats vivants au bout de t mois.

t 10 15 20 25 28 30 32 34 36 38 40 42 43
N 144 143 140 131 119 106 86 63 37 15 4 1 0

a) Remplir le tableau suivant donnant l’effectif E de la classe des rats ayants une durée de vie D dans chaque intervalle de temps.

D ]10,20] ]20,25] ]25,30] ]30,34] ]34,38] ]38,40] ]40,43]

E

b) Tracer l’histogramme correspondant. L’allure de l’histogramme ressemble-t-il à celui que donnerait une loi gausienne ?

c) Évaluer la moyenne et l’écart-type de la variable aléatoire D, en supposant que sa loi soit Gaussienne.

d) À l’aide d’un test du χ^{2}, vérifier que la différence entre les résultats expérimentaux et les prédictions données par une loi gaussienne (dont on fixe les paramètre m et σ conformément à l’estimation précédente) est significative à un seuil élevé.