\documentclass[a4paper,12pt,onecolumn,notitlepage,twoside]{td}

\author{depauw}
\date{Série 14}
\annee{1999-2000}
\diplome{Deug 1 SV/ST}
\cours{Math. M1B}
\seance{Tests}

\begin{document}
\maketitle

\exo
Le prix $X$ d'un même article relevé au hasard dans 15 épiceries de la
ville donne ceci : 
\begin{center}
\begin{tabular}{*{8}{c}}
42,7 & 42,6 & 43,0 & 43,5 & 42,8 & 43,1 & 43,6 & 42,9 \\
41,6 & 42,8 & 42,9 & 43,2 & 42,6 & 43,1 & 43,1 &
\end{tabular}
\end{center}
On admet que $X$ est une variable aléatoire suivant une loi gaussienne.
On fixe les risques à 5\%.
\sexo Peut-on admettre l'hypothèse $E(X)=$43,0 ?
\sexo Peut-on admettre l'hypothèse $V(X)=$0,1 ?

\exo
Une roulette possède 37 numéros. Sur $10^4$ parties, le zéro est
sorti 298 fois. On admet que la sortie du zero est une variable 
aléatoire de Bernoulli. 
\sexo On considère l'hypothèse simple~: 
«le zéro sort avec une probabilité de 1/37».
Avec un risque de 5\%, peut-on accepter l'hypothèse ?
\sexo On considère l'hypothèse~: 
«le zéro sort avec une probabilité de 1/37 (et donc ne sort pas avec la
probabilité 36/37)».
Avec un test du $\chi^2$, peut-on accepter l'hypothèse, 
avec un risque de 5\% ?

\exo %(Test de conformité par la technique du $\chi^2$)
Selon la théorie Mendélienne de l'hérédité, on prévoit qu'en croisant deux
types de plantes, on doit obtenir des variétés de quatre types, (disons
S,T,U et V) avec une probabilité respective de 9/16, 3/16, 3/16 et 1/16.
À la suite d'une expérience, on obtient 154 plants de type S, 44 de type T,
63 de type U et 21 de type D.

Peut-on accepter l'hypothèse que l'échantillon obtenu est conforme à
la théorie Mendélienne, avec un risque de 5\%.

\exo %(Test de conformité par la technique du $\chi^2$)
Pour justifier la loi de Gompertz modélisant l'extinction des populations,
K.~\textsc{Miescher} a mesuré l'évolution, au cours du temps, du nombre
de rats vivants, dans un élevage qu'il commença avec 144 rats en 1953.
Le tableau suivant donne le nombre $N$ de rats vivants au bout de $t$ mois.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*{13}{c}|}
\hline
t & 10 & 15 & 20 & 25 & 28 & 30 & 32 & 34 & 36 & 38 & 40 & 42 & 43 \\
N & 144 & 143 & 140 & 131 & 119 & 106 & 86 & 63 & 37 & 15 & 4 & 1 & 0 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\sexo Remplir le tableau suivant donnant 
l'effectif $E$ de la classe des rats ayants une durée de vie $D$ 
dans chaque intervalle de temps.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*{7}{c}|}
\hline
D & ]10,20] & ]20,25] & ]25,30] & ]30,34] & ]34,38] & ]38,40] & ]40,43] \\
E & & & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\sexo Tracer l'histogramme correspondant.
L'allure de l'histogramme ressemble-t-il à celui que donnerait
une loi gausienne ? 

\sexo Évaluer la moyenne et l'écart-type de la variable aléatoire $D$,
en supposant que sa loi soit Gaussienne.

\sexo À l'aide d'un test du $\chi^2$, vérifier que la différence
entre les résultats expérimentaux 
et les prédictions données par une loi gaussienne (dont on fixe
les paramètre $m$ et $\sigma$ conformément à l'estimation précédente)
est significative à un seuil élevé.


\end{document}