Deug 1 SV/ST 2000-2001 Math. M1B Série 1

Nombres complexes Géométrie analytique

Exercice 1) Écrire sous forme cartésienne (a + ib) les nombres

{a) (3 + 6i)(3 − 4i)^{−1} ; \atop b) \frac{2 + 5i}{1 − i} + \frac{2 − 5i}{1 + i} ;}  {c) (1 + 2i)^{3} ; \atop d) (1 + i)^{8}.}

Écrire sous forme trigonométrique (re^{iθ}) les nombres

e) 2\sqrt{3} + 2i;

f) \frac{cos θ + i sin θ}{cos ϕ + i sin ϕ} ;

g) z_{1} = −1 − i\sqrt{3} ; h) z_{2} = −1 − i.

i) Calculer le module et un argument de z_{3} = z_{1}/z_{2}.

j) En déduire une valeur exacte de cos(π/12) et sin(π/12).

Exercice 2) Résoudre dans ℝ et dans ℂ les équations suivantes :

a) x^{2} − 27 = 0. b) y^{4} − 256 = 0. c) z^{2} + z + 1 = 0. d) r^{2} − 5r + 6 = 0. e) 9s^{2} − 6s + 1 = 0. f) t^{4} + 5 = 0.

g) u^{3} + (2 − i)u^{2} + (3 − 2i)u − 3i = 0.

Trouver une racine imaginaire pure.

h) v^{3} − 3v^{2} + 3v − 2 = 0.

Trouver une racine réelle.

Exercice 3) Calculer la partie réelle du nombre (−\sqrt{3} + i)^{99}.

Exercice 4) Factoriser les polynômes a) P (X) = X^{2} − iX − (1 + i) dans ℂ;

b) Q(X) = X^{2} − 2X cos θ + 1 dans ℝ et ℂ.

c) R(X) = X^{4} + X^{2} + 1 dans ℝ et ℂ.

Exercice 5) Calculer cos(3θ) et sin(3θ) en fonction de cos(θ) et sin(θ).

Exercice 6) u⃗ et v⃗ sont les vecteurs de ℝ^{2} de coordonnées (3, 7) et (2, a).

a) Trouver a pour que u⃗ et v⃗ soient colinéaires.

b) Trouver a pour que u⃗ et v⃗ soient orthogonaux.

Exercice 7) Dans le plan ℝ^{2}, A, B et C sont les points de coordonnées (1, −2), (4, 2) et (−1, 1/3).

a) Donner une équation de la droite AB.

b) Donner une équation de la médiatrice du segment [A, C].

c) Donner une équation du cercle de centre C passant par B.

d) Calculer la distance du point C à la droite AB.