\documentclass[a4paper,12pt,onecolumn,notitlepage,twoside]{td}

\author{depauw}
\date{Série 1}
\annee{2000-2001}
\diplome{Deug 1 SV/ST}
\cours{Math. M1B}
\seance{Nombres complexes\\ Géométrie analytique}

\begin{document}
\maketitle

\exo
Écrire sous forme cartésienne ($a+ib$) les nombres
\begin{multicols}{2}
\sexo $(3+6i)(3-4i)^{-1}$ ;
\sexo $\dfrac{2+5i}{1-i}+\dfrac{2-5i}{1+i}$ ;
\sexo $(1+2i)^3$ ;
\sexo $(1+i)^8$.
\end{multicols}
Écrire sous forme trigonométrique ($r\e^{i\theta}$) les nombres
\begin{multicols}{2}
\sexo $2\sqrt3+2i$ ;
\sexo $\dfrac{\cos\theta+i\sin\theta}{\cos\phi+i\sin\phi}$ ;
\sexo $z_1=-1-i\sqrt3$ ;
\sexo $z_2=-1-i$.
\end{multicols}
\sexo Calculer le module et un argument de $z_3={z_1}/{z_2}$.
\sexo En déduire une valeur exacte de $\cos(\pi/{12})$ et 
$\sin(\pi/{12})$.

\exo
Résoudre dans $\R$ et dans $\C$ les équations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\sexo $x^2-27=0$.
\sexo $y^4-256=0$.
\sexo $z^2+z+1=0$.
\sexo $r^2-5r+6=0$.
\sexo $9s^2-6s+1=0$.
\sexo $t^4+5=0$.
\sexo $u^3+(2-i)u^2+(3-2i)u-3i=0$.
{\par\footnotesize Trouver une racine imaginaire pure.}
\sexo $v^3-3v^2+3v-2=0$.
{\par\footnotesize Trouver une racine réelle.}
\end{multicols}

\exo Calculer la partie réelle du nombre $(-\sqrt3+i)^{99}$.

\exo Factoriser les polynômes
\sexo $P(X)=X^2-iX-(1+i)$ dans $\C$ ;
\sexo $Q(X)=X^2-2X\cos\theta+1$ dans $\R$ et  $\C$.
\sexo $R(X)=X^4+X^2+1$ dans $\R$ et  $\C$.

\exo Calculer $\cos(3\theta)$ et $\sin(3\theta)$ en fonction
de $\cos(\theta)$ et $\sin(\theta)$.

\exo $\vec u$ et $\vec v$ sont les vecteurs de $\R^2$ de coordonnées
$(3,7)$ et $(2,a)$.
\sexo Trouver $a$ pour que $\vec u$ et $\vec v$ soient colinéaires.
\sexo Trouver $a$ pour que $\vec u$ et $\vec v$ soient orthogonaux.

\exo Dans le plan $\R^2$, $A$, $B$ et $C$ sont les points de 
coordonnées $(1,-2)$, $(4,2)$ et $(-1,1/3)$.
\sexo Donner une équation de la droite $AB$.
\sexo Donner une équation de la médiatrice du segment $[A,C]$.
\sexo Donner une équation du cercle de centre $C$ passant par $B$.
\sexo Calculer la distance du point $C$ à la droite $AB$.

\end{document}