Deug 1 SV/ST 2000-2001 Math. M1B Série 5

Fonctions

Exercice 1) On considère la fonction f : I → ℝ, f(x) = |x − 1|. Comment choisir l’intervalle I le plus grand possible pour que f soit

a) définie ?

b) injective ? c) surjective ?

d) bijective ?

Exercice 2) On note f(x) = \sqrt{x^{2} − 1}/sin(x).

a) Quel est l’ensemble de définition de f ?

b) Cette fonction est-elle continue ?

c) Quel est son image ?

Exercice 3) On note f(x) = cos(x − 2) et g(x) = x^{2} + 1. Calculer f ∘ g(x) et g ∘ f(x).

Exercice 4) Calculer les limites de a) arctan(t) quand t → 1 ;

b) cos(s)/sin(s) quand s → 0, s < 0 ;

c) \sqrt{z + 1} − \sqrt{z} quand z → +∞;
d) (1 − q)^{−1} − 3(1 − q^{3})^{−1} quand q → 1.

e) sin(u^{2})/(u^{3} + 2u^{2}) quand u → 0, sachant que sin(v)/v → 1 quand v → 0 ;

f) \sqrt{|x|} cos(1/\sqrt{|x|}) quand x → 0, x ≠ 0 ;

Exercice 5) Soit f la fonction définie par f(x) = (2x^{2} − 6x + 4)/(x^{2} + 2x − 3). Calculer les limites de f aux bords de son domaine de définition.

Exercice 6) Étude complète des fonctions suivantes :

a) f(x) = x^{−1/2}e^{−x/2} pour x > 0 ;

b) g(x) = x^{−1}e^{−1/x^{2}} pour x ≠ 0.

Exercice 7) Dériver la fonction définie sur ℝ^{∗} par arctan(x) + arctan(1/x). Conclure.

Exercice 8) Soit h la fonction de ℝ \ {1} dans F ⊂ ℝ définie par h(x) = (2x + 3)/(x − 1). a) Déterminer F pour que h soit une bijection.

b) Quelle est alors sa réciproque ?

Exercice 9) Donner la valeur de arcsin(−1/\sqrt{2}), sin(arcsin(−1/2)), arccos(cos(11π/3)).

Exercice 10) Soit f une fonction ℝ dans ℝ, égale à la fonction cos sur ] − ∞, π/2[ et à la fonction sin sur ]π/2, +∞[. À quelle condition f est-elle

a) continue à droite en π/2 ;

b) continue à gauche en π/2 ;

c) continue sur ℝ.

Exercice 11) Application du théorème des accroissements finis :

a) Montrer que pour tout x > −1, ln(1 + x) est entre x et x/(1 + x).

b) Soit f une fonction nulle et continue en 0, dérivable sur x > 0 avec f′(x) > 1. Pour tout x > 0, montrer que f(x) > x.