\documentclass[a4paper,12pt,onecolumn,notitlepage,twoside]{td}

\author{depauw}
\date{Série 5}
\annee{2000-2001}
\diplome{Deug 1 SV/ST}
\cours{Math. M1B}
\seance{Fonctions}

\begin{document}
\maketitle

\exo On considère la fonction $f:I\to \R$, $f(x)=\abs{x-1}$.
Comment choisir l'intervalle $I$ le plus grand possible pour que $f$ soit
\begin{multicols}{2}
\sexo définie ?
\sexo injective ?
\sexo surjective ?
\sexo bijective ? %Quelle est alors sa réciproque ? 
\end{multicols}

\exo On note $f(x)={\sqrt{x^2-1}}/{\sin(x)}$.
\sexo Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?
\sexo Cette fonction est-elle continue ? 
\sexo Quel est son image ?

\exo On note $f(x)=\cos(x-2)$ et $g(x)=x^2+1$. 
Calculer $f\circ g(x)$ et $g\circ f(x)$.  

\exo Calculer les limites de
\begin{multicols}{2}
\sexo $\arctan(t)$ quand $t \to 1$ ;
\sexo ${\cos(s)}/{\sin(s)}$ quand $s\to 0$, $s<0$ ;
\sexo $\sqrt{z+1}-\sqrt{z}$ quand $z\to +\infty$ ;
\sexo ${(1-q)^{-1}}-{3}{(1-q^3)^{-1}}$ quand $q\to 1$.
\end{multicols}
\sexo ${\sin(u^2)}/{(u^3+2u^2)}$ quand $u\to 0$, 
sachant que ${\sin(v)}/{v}\to 1$ quand $v\to 0$ ;
\sexo $\sqrt{\abs{x}}\cos(1/\sqrt{\abs{x}})$ quand $x \to 0$, $x\neq 0$ ;

\exo Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = {(2x^2-6x+4)}/{(x^2+2x-3)}$. 
Calculer les limites de $f$ aux bords de son domaine de définition.

\exo Étude complète des fonctions suivantes :
\sexo $f(x)=x^{-1/2}e^{-x/2}$ pour $x>0$ ;
\sexo $g(x)=x^{-1}e^{-1/x^2}$ pour $x\neq 0$. 

\exo Dériver la fonction définie sur $\R^*$ par $\arctan(x)+\arctan(1/x)$.
Conclure.

\exo Soit $h$ la fonction de $\R\setminus\{1\}$ dans $F\subset\R$ définie 
par $h(x)=(2x+3)/(x-1)$. 
\sexo Déterminer $F$ pour que $h$ soit une bijection. 
\sexo Quelle est alors sa réciproque ?

\exo Donner la valeur de $\arcsin(-1/\sqrt{2})$, $\sin(\arcsin(-1/2))$, 
$\arccos(\cos(11\pi/3))$.

\exo Soit $f$ une fonction $\R$ dans $\R$, égale à la fonction $\cos$ sur
$]-\infty,\pi/2[$ et à la fonction $\sin$ sur $]\pi/2,+\infty[$. 
À quelle condition $f$ est-elle
\sexo continue à droite en $\pi/2$ ;
\sexo continue à gauche en $\pi/2$ ;
\sexo continue sur $\R$.

\exo Application du théorème des accroissements finis : 
\sexo Montrer que pour tout $x>-1$, $\ln(1+x)$ est entre $x$ et $x/(1+x)$.
\sexo Soit $f$ une fonction nulle et continue en $0$, dérivable sur $x>0$ avec
$f'(x)> 1$. Pour tout $x>0$, montrer que $f(x)> x$.

\end{document}