Deug 1 SV/ST 2000-2001 Math. M1B Série 6

Dénombrement et probabilités

Exercice 1) On jette deux dés de couleur différente. Soit A l’événement “la somme des points est paire” et B l’événement “ la différence absolue des points vaut 4”.

a) Quel est l’ensemble des épreuves ?

b) Énumérer les événements A, B, et A ∩ B.

Exercice 2) Soit A l’ensemble des chiffres non nuls.

a) Dénombrer les nombres de quatre chiffres non nuls.

b) Dénombrer les nombres de quatre chiffres distincts non nuls.

c) Dénombrer les parties de A à quatre éléments.

Exercice 3) Soit Ω l’ensemble des chiffres.

a) Déterminer la loi p de probabilité sur Ω telle que la probabilité de l’événement élémentaire {i} soit proportionnelle à i.

b) Calculer la probabilité des événements “pair” et “premier”.

Exercice 4) Lorsqu’un étranger arrive à Nantes, on note C l’événement “il passe à Couëron”, O l’événement “il passe à Orvault” et R l’événement “il passe à Rezé”. On note C′, O′ et R′ les événements contraires. On suppose que la probabilité de chacun des événements C ∩ O ∩ R, C ∩ O ∩ R′, C ∩ O′ ∩ R, C ∩ O′ ∩ R′, C′ ∩ O ∩ R et C′ ∩ O′ ∩ R vaut 1/10, et que les deux autres événements C′ ∩ O ∩ R′ et C′ ∩ O′ ∩ R′ sont équiprobables.

a) Quelle est la probabilité de l’événement C′ ∩ O ∩ R′?

b) Calculer la probabilité de C, O et C ∩ O.

c) Calculer la probabilité de passer à Couëron ou à Orvault, puis celle de ne pas passer à Orvault.

d) Vérifier que les événements C et O sont indépendants.

e) Calculer la probabilité de passer à Rezé sachant qu’on passe à Couëron, puis sachant qu’on n’y passe pas. Conclure.

Exercice 5) Un dépistage systématique est effectué sur une population dont 15% des individus présentent une certaine affection non apparente. Ce dépistage commence par un test. Ce test donne 95% de résultats positifs pour les personnes affectées et 10% de résultats positifs pour les personnes non affectées. Quelle est la probabilité pour qu’une personne qui a réagit positivement au test soit atteinte par M.

Exercice 6) Un club de sport fait passer à ses 100 adhérents un test, noté de 0 à 4, au début et à la fin de l’année. Les résultats sont donnés par le tableau.

a) Quelle est la probabilité pour qu’entre les deux tests, la note d’un adhérent augmente, baisse, stagne ?

b) Quelle est la probabilité pour qu’un adhérent, dont la note a augmenté, ait eu 1 au premier examen ?

\begin{matrix}F\D & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 5 & 4 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 4 & 26 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 3 & 11 & 15 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & 3 & 7 & 9 \end{matrix}