Deug 1 SV/ST 1999-2000 Math. M1B Série 7

Fonctions, dérivation

Exercice 1) Soit N une fonction de ℝ_{+} dans ℝ_{+} qui donne la quantité de bactéries L... dans un pot de rillettes. L’évolution de la population de la bactérie implique que

(ln ∘N)′ = K ∘ N

où K est une certaine fonction. Dans le modèle logistique, K(x) = k(n − x) avec k > 0 un coefficient, et n une quantité typique de bactéries.

a) Montrer que pour tout c > −1, la fonction

N(t) = \frac{n}{1 + ce^{−knt}}

est une solution. Déterminer c pour qu’à l’instant initial (t = 0) la quantité de bactérie soit 10^{−3}n, puis 10^{3}n.

Quitte à changer les unités de temps et de quantité de bactéries, on peut choisir k = 1 et n = 1.

b) Étudier la fonction N. Représenter son graphe.

c) Quelle est la vitesse (instantannée) d’apparition des bactéries ? À quel moment est-elle maximale ? Donner à cet instant la fonction affine tangente à N.

d) Comment évolue la population de bactérie pour des temps très longs ? Et pour des temps très courts ?

e) Les premiers expérimentateurs ont proposé deux lois : N(t) ≃ n(1 − ce^{−knt}) et N(t) ≃ (n/c)e^{knt}. Dans quelles conditions sont-elles de bonnes approximations ? Sontelles des approximations par défaut ou par excès ?

Un autre modèle (loi de Gompertz) préconise K(x) = k(ln(n) − ln(x)), où le coefficient k est parfois négatif. Les solutions sont alors

N(t) = n exp(ce^{−kt}).

Quitte à changer les unités de temps et de quantité de bactéries, on peut choisir k = 1 si on avait k > 0, k = −1 si on avait k = 1, et n = 1.

f) Selon le signe de c et celui de k, étudier les fonctions N et tracer leur graphe (en indiquant encore la tangente aux pointx d’inflexion).

Exercice 2) Étude complète des fonctions suivantes :

a) f(x) = x^{−1/2}e^{−x/2} pour x > 0 ;

b) g(x) = x^{−1}e^{−1/x^{2}} pour x ≠ 0.

Exercice 3) Application du théorème des accroissements finis :

a) Montrer que pour tout x > −1, ln(1 + x) est entre x et x/(1 + x).

b) Soit f une fonction nulle et continue en 0, dérivable sur x > 0 avec f′(x) > 1. Pour tout x > 0, montrer que f(x) > x.

Exercice 4) Dériver la fonction définie sur ℝ^{∗} par arctan(x) + arctan(1/x). Conclure.