\documentclass[a4paper,12pt,onecolumn,notitlepage,twoside]{td}

\author{depauw}
\date{Série 7}
\annee{1999-2000}
\diplome{Deug 1 SV/ST}
\cours{Math. M1B}
\seance{Fonctions, dérivation}

\begin{document}
\maketitle

\exo
Soit $N$ une fonction de $\R_+$ dans $\R_+$ qui donne la quantité
de bactéries L... dans un pot de rillettes. L'évolution de la
population de la bactérie implique que 
$$ (\ln\circ N)'= K\circ N
$$ où $K$ est une certaine fonction.  Dans le modèle
\emph{logistique}, $K(x)=k(n-x)$ avec $k>0$ un coefficient, et $n$ une
quantité typique de bactéries.  
\sexo Montrer que pour tout $c>-1$, la fonction
$$ N(t)=\frac{n}{1+ce^{-knt}}
$$ est une solution. Déterminer $c$ pour qu'à l'instant initial ($t=0$)
la quantité de bactérie soit $10^{-3}n$, puis $10^{3}n$.

Quitte à changer les unités de temps et de quantité de bactéries, on
peut choisir $k=1$ et $n=1$.  
\sexo Étudier la fonction $N$. Représenter son graphe.  
\sexo Quelle est la vitesse (instantannée) d'apparition des bactéries ? 
À quel moment est-elle maximale ? 
Donner à cet instant la fonction affine tangente à $N$.
\sexo Comment évolue la population de bactérie pour des temps très
longs ?  Et pour des temps très courts ?
\sexo Les premiers expérimentateurs ont proposé deux lois : 
$N(t)\simeq n(1-ce^{-knt})$ et $N(t)\simeq (n/c)e^{knt}$.  
Dans quelles conditions sont-elles de bonnes approximations ?  
Sont-elles des approximations par défaut ou par excès ?

Un autre modèle (\emph{loi de Gompertz}) préconise $K(x)=k(\ln(n)-\ln(x))$, 
où le coefficient $k$ est parfois négatif. 
Les solutions sont alors 
$$ N(t)=n\exp(ce^{-kt})
.$$
Quitte à changer les unités de temps et de quantité de bactéries, on
peut choisir $k=1$ si on avait $k>0$, $k=-1$ si on avait $k=1$, et $n=1$.
\sexo Selon le signe de $c$ et celui de $k$, étudier les fonctions $N$ et
tracer leur graphe (en indiquant encore la tangente aux pointx d'inflexion).

\exo Étude complète des fonctions suivantes :
\sexo $f(x)=x^{-1/2}e^{-x/2}$ pour $x>0$ ;
\sexo $g(x)=x^{-1}e^{-1/x^2}$ pour $x\neq 0$. 

\exo Application du théorème des accroissements finis : 
\sexo Montrer que pour tout $x>-1$, $\ln(1+x)$ est entre $x$ et $x/(1+x)$.
\sexo Soit $f$ une fonction nulle et continue en $0$, dérivable sur $x>0$ avec
$f'(x)> 1$. Pour tout $x>0$, montrer que $f(x)> x$.

\exo Dériver la fonction définie sur $\R^*$ par $\arctan(x)+\arctan(1/x)$.
Conclure.

\end{document}
