Deug 1 SV/ST 2000-2001 Math. M1B Série 8

Variables aléatoires

Exercice 1) On lance deux dés bien équilibrés. On considère la variable aléatoire X qui est la somme des deux chiffres obtenus.

a) Donner la loi de probabilité de X sous la forme d’un tableau.

b) Tracer sa fonction de répartition.

c) Donner son espérance E(X), sa variance V (X) et son écart-type σ(X).

Exercice 2) Soit X une variable aléatoire de loi binomiale B(8,3/4).

a) Calculer P (X = k)/P (X = k − 1).

b) Calculer P (X ≥ 7).

Exercice 3) On suppose qu’un virus est présent chez 20% des individus d’une population. On considère la variable aléatoire X qui est le nombre de personnes porteuses parmi six prises au hasard.

a) Interpréter l’énoncé pour préciser la loi de probabilité de X.

b) Quelle la probabilité pour que deux personnes au moins parmi six prises au hasard soient porteuses du virus.

Exercice 4) Dans un certain magasin, le nombre X de téléphones mobiles vendus chaque jour suit une loi de Poisson de moyenne 4,2 unités.

a) Quelle est la variance de X?

b) Quelle est la probabilité que la vente d’une journée soit de 4 unités.

Exercice 5) Le délai de livraison d’une pièce suit une loi normale, de moyenne 30 jours et d’écart-type 5 jours.

a) Quelle est la probabilité pour que le délai soit inférieur à 38 jours ? Compris entre 22 et 38 jours ?

b) Même question si la moyenne passe à 32 jours avec un écart-type de 8 jours.

Exercice 6) La probabilité de panne d’un photocopieur est de 1% (à chaque photocopie !). On doit copier une feuille en 100 exemplaires.

a) Le nombre de pannes est une variable aléatoire notée X. Quelles sont les probabilités de X = 0, X = 1, X = 2, X = 3 et X ≥ 4 ?

b) On estime le coût d’une réparation à 100E. La dépense en Euros pour les réparations est une variable aléatoire notée Y. Calculer E(Y) et V (Y).

Exercice 7) Soit f la fonction définie par

f(x) = \begin{cases}0 & si x < 1 ou x > 3 \\ a(x − 1)(3 − x) & si x ∈ [1, 3] \end{cases}

a) Calculer a pour que f soit la densité de probabilité d’une variable aléatoire X.

b) Calculer alors P (X ∈ [0, 2]), E(X) et V (X).