Deug 1 SV/ST 2000-2001 Math. M1B Série 9

Intégration, Primitives

Exercice 1) Rechercher par un calcul d’intégrale une primitive des fonctions a) x ↦ x exp(−x^{2}/2) ;

b) x ↦ x^{−1} ln(x) ;

c) tan ; d) x ↦ (x ln(x))^{−1} ;

e) ln (I.P.P) ;

f) x ↦ x ln(x) (I.P.P).

Exercice 2) Calculer ∫_{0}^{3}(3 − x)^{−1/3} dx et ∫_{0}^{∞} xe^{−2x} dx.

Exercice 3) Rechercher les primitives des fractions rationnelles :

a) ; \frac{x^{2} + 1}{x^{3} + x^{2} − x − 1}  b) ; \frac{x^{3} + 2x}{x^{2} − 3x + 2}

Exercice 4) Soit a et b deux nombres réels positifs. Calculer avec une intégrale l’aire du plan déterminée par les inéquations : x > 0 et ax^{2} + by^{2} < 1.

Indication : on pourra dans l’intégrale faire le changement de variable cos(t) = \sqrt{a}x.

Exercice 5) Vérifier par le calcul que la fonction f(x) = e^{−π(x^{2}−6x+9)} est bien la densité de probabilité d’une variable aléatoire d’espérance 3 et d’écart-type \frac{1}{\sqrt{2π}}. On admettra que \sqrt{2π} = ∫_{−∞}^{+∞} exp(x^{2}/2) dx.

Exercice 6) Soit f la fonction identique à sin sur [0, π] et nulle sur ℝ \ [0, π].

a) Calculer l’intégrale de f et en deduire la valeur de la constante c telle que cf soit la densité de probabilité d’une variable aléatoire X.

b) Calculer l’esperance et l’écart-type de X.

Exercice 7) Soit X une variable aléatoire à densité continue. On suppose que son écarttype σ existe.

a) Montrer que son espérance m existe.

b) Montrer l’inégalité de Bienaymé-Tchebicheff :

P (|X − m| > a) < \frac{σ^{2}}{a^{2}}

c) On suppose que les valeurs de |X| sont bornées par B. Montrer l’inégalité de Kolmogorov :

P (|X − m| > a) > \frac{σ^{2} − a^{2}}{B^{2}}

d) On suppose que les valeurs de X sont positives. Montrer l’inégalité de Markov :

\frac{m^{2} − a^{2}}{σ^{2}} < P (X > a) < \frac{a}{m}