\documentclass[a4paper,12pt,onecolumn,notitlepage,twoside]{td}

\author{depauw}
\date{Série 9}
\annee{2000-2001}
\diplome{Deug 1 SV/ST}
\cours{Math. M1B}
\seance{Intégration, Primitives}

\begin{document}
\maketitle

\exo Rechercher par un calcul d'intégrale une primitive des fonctions
\begin{multicols}{2}
\sexo $x\mapsto x\exp(-x^2/2)$ ;
\sexo $x\mapsto x^{-1}\ln(x)$ ;
\sexo $\tan$ ;
\sexo $x\mapsto (x\ln(x))^{-1}$ ;
\sexo $\ln$ (I.P.P); 
\sexo $x\mapsto x\ln(x)$ (I.P.P). 
%\sexo $1/\sin$.
\end{multicols}

\exo Calculer $\int_0^3(3-x)^{-1/3}\,dx$ et $\int_0^\infty xe^{-2x}\,dx$.

\exo Rechercher les primitives des fractions rationnelles :
\begin{multicols}{2}
\sexo $$ \frac{x^2+1}{x^3+x^2-x-1} $$
\sexo $$ \frac{x^3+2x}{x^2-3x+2} $$
\end{multicols}

\exo Soit $a$ et $b$ deux nombres réels positifs.
Calculer avec une intégrale l'aire du plan déterminée 
par les inéquations : $x>0$ et $ax^2+by^2<1$.
{\par\small Indication : on pourra dans l'intégrale faire le changement
de variable $\cos(t)=\sqrt{a}x$.}

\exo Vérifier par le calcul que la fonction 
%$$f(x)= (\sigma\sqrt{2\pi})^{-1} \exp(-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2})$$
$f(x)= e^{-\pi(x^2-6x+9)}$
est bien la densité de probabilité d'une variable aléatoire 
%d'espérance $m$ et d'écart-type $\sigma$. 
d'espérance $3$ et d'écart-type $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$. 
On admettra que $\sqrt{2\pi}=\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(x^2/2)\,dx$.

\exo Soit $f$ la fonction identique à $\sin$ sur $[0,\pi]$ et nulle
sur $\R\setminus[0,\pi]$.
\sexo Calculer l'intégrale de $f$ et en deduire la valeur de la constante
$c$ telle que $cf$ soit la densité de probabilité d'une variable aléatoire
$X$.
\sexo Calculer l'esperance et l'écart-type de $X$.

\exo
Soit $X$ une variable aléatoire à densité continue. On suppose que son
écart-type $\sigma$ existe.
\sexo Montrer que son espérance $m$ existe.
\sexo Montrer l'inégalité de Bienaymé-Tchebicheff :
$$ P(\abs{X-m}>a) < \frac{\sigma^2}{a^2} $$
\sexo On suppose que les valeurs de $\abs{X}$ sont bornées par $B$. 
Montrer l'inégalité de Kolmogorov :
$$ P(\abs{X-m}>a) > \frac{\sigma^2-a^2}{B^2} $$
\sexo On suppose que les valeurs de $X$ sont positives. 
Montrer l'inégalité de Markov :
$$ \frac{m^2-a^2}{\sigma^2} < P(X>a) < \frac{a}{m} $$

\end{document}
