Contrôle numéro un de mathématiques

Nom : Prénom :

10 octobre 2006

exercice 1

Calculer le nombre complexe suivant :

C = \frac{(2 + 3i)^{2} + (2 − 3i)^{2}}{(2 + 3i)^{2} − (2 − 3i)^{2}} .

Licence 1  —  STPI  —  mathématiques 1  —  10 octobre 2006  2

exercice 2

La fonction sinus est restreinte à l’intervalle [−π/2, π/2] :

\begin{aligned}sin : & [−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ] & → & [−1, 1] \\ & x & ↦ & sin(x). \end{aligned}

1. Sa dérivée est cos(x). Établir le tableau de variation de la fonction sin(x).

2. Pourquoi la fonction sin(x) est-elle bijective ?

3. La fonction Arcsin(x) est la réciproque de la fonction sin(x). Sur quel intervalle la fonction Arcsin(x) est-elle dérivable et pourquoi ?

Licence 1  —  STPI  —  mathématiques 1  —  10 octobre 2006  3

4. En utilisant la question 1, établir le tableau de variation de la fonction Arcsin(x).

5. Calculer la dérivée de la fonction Arcsin(x) en justifiant soigneusement. (On pourra dessiner le cercle trigonométrique.)

6. Tracer sur le même repère orthonormé Oxy les graphes des fonctions sin(x) et Arcsin(x), ainsi que la droite d’équation y = x. On utilisera l’approximation π ≃ 3, 14.