\documentclass{article}

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\newcommand{\Arctan}{{\rm Arctan}}
\newcommand{\Arcsin}{{\rm Arcsin}}

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\textwidth 18cm
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\oddsidemargin -0,5cm
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\title{\Huge \bf Contrôle numéro un de mathématiques}\label{title:titre}

\author
{\bf Nom~: {\hskip 15 cm} \\ \\ \bf Prénom~: {\hskip 15 cm} {} \\ {} }
\markboth{Licence 1 {\hskip 1 cm}---{\hskip 1 cm}  STPI {\hskip 1 cm}---{\hskip 1 cm} mathématiques 1 
{\hskip 1 cm}---{\hskip 1 cm} 10 octobre 2006}
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\date{10 octobre 2006}
\pagestyle{myheadings}
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\begin{document}
\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{exercice 1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Calculer le nombre complexe suivant~:
%Déterminer les parties réelle et imaginaire du nombre complexe suivant

\[
C=\frac{(2+3i)^2+(2-3i)^2}{(2+3i)^2-(2-3i)^2}.
\]
%\vskip 10 cm
\vfill \eject

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{exercice 2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

La fonction sinus est restreinte à l'intervalle $[-\pi /2,\pi /2]$~:
\[
\begin{matrix}
\sin : & \quad & {\displaystyle \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right] } & \quad &  \to & \quad & [-1,1] \\
 {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\
{} & {} & x & \quad & \mapsto & \quad & \sin(x).
\end{matrix}
\]

%%%%%%%%%%
\subsection*{1.}
\vskip -18.5 pt
%%%%%%%%%%
Sa dérivée est~$\cos(x)$.
\'Etablir le tableau de variation de la fonction~$\sin (x)$.
\vskip 11 cm

%%%%%%%%%%
\subsection*{2.}
\vskip -18.5 pt
%%%%%%%%%%
Pourquoi la fonction~$\sin (x)$ est-elle bijective~?
\vskip 5 cm

%%%%%%%%%%
\subsection*{3.}
\vskip -18.5 pt
%%%%%%%%%%
La fonction~$\Arcsin (x)$ est la réciproque de la fonction~$\sin (x)$.
Sur quel intervalle la fonction~$\Arcsin (x)$ est-elle dérivable et pourquoi ?
\vfill \eject

%%%%%%%%%%
\subsection*{4.}%
\vskip -18.5 pt
%%%%%%%%%%
En utilisant la question~$1$, \'etablir le tableau de variation de la fonction~$\Arcsin (x)$.
\vskip 9 cm


%%%%%%%%%%
\subsection*{5.}
\vskip -18.5 pt
%%%%%%%%%%
Calculer la dérivée de la fonction~$\Arcsin (x)$ en justifiant soigneusement. 
(On pourra dessiner le cercle trigonométrique.)
\vfill \eject

\ 
\vskip 7 cm
%%%%%%%%%%
\subsection*{6.}
\vskip -18.5 pt
%%%%%%%%%%
Tracer sur le même repère orthonormé~$Oxy$ les graphes des fonctions~$\sin (x)$ et~$\Arcsin (x)$, 
ainsi que la droite d'équation~$y=x$. On utilisera l'approximation~$\pi \simeq 3,14$.
\vskip 10 cm

\end{document}
