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Base orthonormée de vecteurs propres

Déterminons une base du sous-espace propre $ \; E_1=Ker(S-\mu_1I)=Ker(S+I)\; .$

$ \displaystyle \{ \; (x,y,z)\; \in \; Ker(S+I) \}
\; \Leftrightarrow \; \lef...
...; \{ \; x=y-z\; , y \mathrm {et} z\
\mathrm {sont quelconques} \; \} \; .$
On en déduit qu'une base de $ \displaystyle \; E_1 \mathrm {est} {\mathcal{V}}_1=\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2 ...
...\quad
\vec{v}_2=\left ( \begin{array}{c}
1\ 1\ 0 \end{array} \right )\; .$
On enlève au deuxième vecteur sa projection orthogonale sur la droite engendrée par le premier vecteur:

$ \displaystyle \vec{w}_2\;
=\; \vec{v}_2 \; -\;
\frac{\langle \vec{v}_2 ; \...
...vec{v}_1\; , \vec{w}_2\}  \mathrm {est une  base orthogonale de} E_1\; .$
On la normalise: $ \displaystyle \; {\mathcal{B}}_1\; =\; \{ \vec{b}_1 , \vec{b}_2\} \; ;
\qua...
...\frac{1}{\sqrt 6} \left ( \begin{array}{c}
1\ 2\ 1 \end{array} \right )\; .$
Alors $ \displaystyle {\mathcal{B}}_1\; $ est une base orthonormée de $ \; E_1\; .$

On détermine une base du sous-espace propre $ \; E_2=Ker(S-\mu_2I)=Ker(S-2I)\; .$

$ \displaystyle \{ \; (x,y,z)\; \in \; Ker(S-2I) \}
\; \Leftrightarrow \; \le...
...n{array}{cc} -2x-y+z & =0\ -x -2y-z& =0\\
x-y-2z & =0 \end{array} \right \} $

$\displaystyle \Leftrightarrow \; \{ \; y=z \; , 2x=-y+z=2z  \mathrm {et} z\
\mathrm {est quelconque} \; \} \; .$

On en déduit qu'une base de $ \displaystyle \; E_2 \mathrm {est} {\mathcal{V}}_2=\{ \vec{v}_3 \} \quad
\...
...uad \vec{v}_3=\left ( \begin{array}{c}
1\ -1\ 1 \end{array} \right )\; \; .$
On normalise $ \displaystyle \; \vec{v}_3\; , \vec{b}_3=\frac{1}{\Vert \vec{v}_3\Vert } \vec...
...frac{1}{\sqrt 3} \left ( \begin{array}{c}
1\ -1\ 1 \end{array} \right )\; .$ Comme $ \displaystyle \; E_2 \mathrm {est l'orthogonal  de } E_1\; ,$
une base orthonormée formée de vecteurs propres de S est alors

$\displaystyle {\mathcal{B}}\; =\; \{ \vec{b}_1 , \vec{b}_2, \vec{b}_3 \} \; ,...
...frac{1}{\sqrt 3} \left ( \begin{array}{c}
1\ -1\ 1 \end{array} \right )\; .$

Remarque. Quand on a trouvé $ \; \vec{b}_1 \mathrm {et} \vec{b}_2\; , \mathrm {le  troisi\grave{e}me,} \...
...\
\mathrm {est n\acute{e}cessairement} \pm \vec{b}_1
\wedge \vec{b}_2\; .$

De même, quand on a trouvé $ \; \vec{b}_3 \mathrm {et} \vec{b}_1\; , \mathrm {on  pouvait prendre comme}  \vec{b}_2\; , \; \pm \vec{b}_3
\wedge \vec{b}_1\; .$



Abderemane Morame 2006-06-06