L'adjoint d'un endomorphisme et ses propriétés

Théorème 4.22   Soit $(E\; ,\; \langle .\; \vert\; . \rangle )$ un espace euclidien de dimension n.

Pour tout $\ u \; \in \; {\mathcal L}(E),$ il existe un unique $u^{*}\; \in \; {\mathcal L}(E),$
appelé adjoint de u et défini par la relation

$$\forall \; \vec{x},\ \vec{y} \; \in \; E, \ \ \langle \vec{y... ...e \; =\; \langle u^{*}(\vec{y})\; \vert\; \vec{x}\rangle \; .$$

Si $\ {\mathcal B}=\{ \vec{e}_{1},...,\vec{e}_{n}\}$ est une base orthonormée de E,

$\langle e_{i}\vert e_{j}\rangle =\delta _{i,j}\; ,$ et si $A=Mat_{\cal B}(u),$
alors $\ \ A^{*}=Mat_{\cal B}(u^{*})$ où $\ \ A^{*}\; =\; ^tA$ est la matrice transposée de A.

Remarque 4.23   Des propriétés suivantes sur les matrices, on en déduit les propriétés similaires sur les adjoints des
endomorphismes d'un espace euclidien:

$1^{\circ })\ \ ^t(A\; B)\; =\; ^tB\; ^tA \; .$

$2^{\circ })\ \ ^t(\; ^tA)\; =\; A\; .$

$3^{\circ })\ \ ^t(\lambda A+\mu B)\; =\; \lambda \; ^tA\; + \; \mu \; ^tB\;$

$4^{\circ })\ \ det(A)\; =\; det(\; ^tA)$

$5^{\circ })$ Si $\ det(A)\neq 0$ alors $\ ^t(A^{-1})=(\; ^tA)^{-1 } \; .$

Définition 4.24  

Si un endomorphisme u vérifie $u^{*}=u,$

on dit que u est symétrique ou auto-adjoint .

Théorème 4.25  

Soit $A$ une matrice réelle $n\times n$ (considirée comme un endomorphisme sur ${\mathbb{R}}^n\;$ muni de sa structure euclidienne canonique).

Alors $Im(A)=[Ker(\; ^tA)]^{\bot }\ \ et\ \ Ker(A)=[Im(\; ^tA)]^{\bot }.$
On a donc $dim(Im(A))=dim(Im(\; ^tA))\ \ et\ \ dim(Ker(A))=dim(Ker(\; ^tA)).$

Remarque 4.26   Si $\ A\;$ est symetrique, $^tA=A\; ,$ alors

$$Im(A)=[Ker(A)]^{\bot },\ \ {\mathbb{R}}^n=Ker(A)\oplus Im(A).$$

Si $\ p(\lambda )=det(A-\lambda I)\; ,$ alors toute racine de $\ p(\lambda )$ est réelle.

Théorème 4.27   Spectral. Soit $A$ une matrice réelle $n\times n$
(considirée comme un endomorphisme sur ${\mathbb{R}}^n\;$ muni de sa structure euclidienne canonique). Si $A$ symetrique, $\ ^tA=A\ ,$
alors son polynôme caractéristique $\ p(\lambda )=det(A-\lambda I)$
n'a que des racines réelles et $A$ est diagonalisable dans une base orthonormée.

Idée de la preuve

Soit ${\mathcal B}$ une base orthonormée de E et A la matrice de u dans cette base:

$$A^{\star }=A .$$

Si $\ \mu$ est une valeur propre de A alors on sait d'après la
Remarque 4.26 que $\ \mu \; \in \; {\mathbb{R}},$ donc $\ A-\mu I$ est auto-adjoint. Comme

$$(A-\mu I)^{\star }=A-\mu I\; \Longrightarrow \; Ker(A-\mu I)=[Im(A-\mu I)]^{\bot },$$

on a donc $Ker(A-\mu I)\oplus Im(A-\mu I)\ ,$ la somme étant orthogonale.

Le sous-espace propre associé à $\ \mu$ est égal au sous-espace caractéristique:

$$\forall \; j\; \in \; {\mathbb{N}},\ \ Ker(A-\mu I)^{j+1}=Ker(A-\mu I).$$

1) Donc, si $\ \mu$ est une racine d'ordre d de $\ p(\lambda ),$ on a $\ dim(Ker(A-\mu I))=d\; .$

Si $\ \rho$ est une autre racine de $\ p(\lambda ),\ (\rho \neq \mu ),$
alors on a $\ \ Ker(A-\mu I)\; \subset \; [Ker(A-\rho I)]^{\bot }.$
2) Deux sous-espaces propres distinctes sont donc orhogonaux.

De ces deux propriétées, on en déduit que u est diagonalisable, et si dans chaque sous-espace propre on choisit une base orthonormée, alors leur reunion, forme une base orthonormée E qui diagonalise u.