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Projection, projection orthogonale

Définition 4.28   Soit E un espace vectoriel de dimension n.

Soient F et H deux sous-espaces vectoriels de E complémentaires:

$\ \ E=F\oplus H\; .$ Alors l'application

\begin{displaymath}p_{F}:E=F\oplus H\; \longmapsto \; E,\ p_{F}(\vec{x})=\vec{y}...
...}=\vec{y}+\vec{z}\ ,\ avec \ (\vec{y},\vec{z})\; \in F\times H,\end{displaymath}

est linéaire. On l'applelle la projection sur F parallèlement à H.
Dans ce cas $\ id_E-p_F=p_H\ $ est la projection sur H parallèlement à F.

Si E est un espace euclidien de norme $\ \Vert \; .\; \Vert \; ,$ et si $H=F^{\bot },$
on dit que $p_{F}$ est la projection orthogonale sur F.
Dans ce cas on a l'égalité de Pythagore $\ \forall \; \vec{x}\; \in \; E\; ,$

\begin{displaymath}
\Vert \vec{x}\Vert ^2\; =\; \Vert p_F(\vec{x})\Vert ^2+\Vert p_H(\vec{x})\Vert ^2\; .\end{displaymath}

Remarque 4.29  

Soit $(E\; ,\; \langle .\; \vert\; . \rangle ) $ un espace euclidien de dimension n.

Soit F est un sous-espace de E. Si $\ {\mathcal B}_F=\{ \vec{b}_1,\ldots , \vec{b}_d\} $ est une base orthonormée de F, et si $\ p\; \in \; {\mathcal L}(E)$ est la projection orthogonale sur F, alors

\begin{displaymath}
\forall \; \vec{x}\; \in \; E,\ \
p(\vec{x})=\sum _{j=1}^{d}\ \langle \vec{b}_{j}\vert\vec{x}\rangle \vec{b}_{j} \; .
\end{displaymath} (4.18)

Exemple 4.30   On prend $\ E={\mathbb{R}}^3\ $ et on considère le plan

$F=\{ (x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3;\ x-y+2z=0\} \; .$

1) La méthode la plus rapide pour déterminer la projection orthogonale sur $F$ consiste à déterminer avant, celle sur son orthogonal qui est de dimension plus petite.

L'orthogonal du plan $F$ est la droite $D=F^\bot =Vec\{ (1,-1,2)\} $
de vecteur directeur unitaire $\displaystyle {\vec n}=\frac{1}{\sqrt 6} (1,-1,2)\; :$

$ \{ {\vec n}\} \ $ est une base orthonormée de $D\; .$

Si $p_D$ est la projection orthogonale sur $D\; ,$
alors $\ \forall \; {\vec v}=(x,y,z)\; \in \; {\mathbb{R}}^3\; ,\
p_D({\vec v})=\langle {\vec n}\vert\vec{v}\rangle {\vec n}=\frac{x-y+2z}{6}(1,-1,2)\; .$

La projection orthogonale $p_F$ sur $F$ est donnée par $\ p_F=id_E-p_D\; ,$
et donc $\ \forall \; {\vec v}=(x,y,z)\; \in \; {\mathbb{R}}^3\; ,$

\begin{displaymath}
p_F({\vec v})={\vec v}-\langle {\vec n}\vert\vec{v}\rangle {\vec n}=
(x,y,z)-\frac{x-y+2z}{6}(1,-1,2)\; .\end{displaymath}

2) La deuxième méthode, directe, pour déterminer $p_F$ consiste à trouver une base orthonormée de $F.$

${\mathcal C}_F=\{ {\vec c}_1,\ {\vec c}_2\} $ est une base de $F\; ,$ si ${\vec c}_1=(1,1,0)$ et ${\vec c}_2=(0,2,1)\; .$

On orthonormalise cette base en une base orthonormée de $F,$

$\displaystyle {\mathcal B}_F=\{ {\vec b}_1,\ {\vec b}_2\} \; :
\ \
{\vec b}_1=\frac{1}{\Vert {\vec c}_1\Vert }{\vec c}_1=\frac{1}{\sqrt 2}(1,1,0)$

et $\displaystyle {\vec b}_2 =\frac{1}{\Vert {\vec w}_2\Vert }{\vec w}_2$ ${\vec w}_2={\vec c}_2-\langle {\vec b}_1\vert\; {\vec c}_2\rangle {\vec b}_1\; ,$ on trouve que $\displaystyle {\vec b}_2 =\frac{1}{\sqrt 3} (-1,1,1)\; .$

La projection orthogonale $p_F$ sur $F$ est alors donnée par

\begin{displaymath}\forall \; {\vec v}=(x,y,z)\; \in \; {\mathbb{R}}^3\; ,\
p_F...
...ec b}_2=
\frac{x+y}{2}(1,1,0)+
\frac{(-x+y+z)}{3}(-1,1,1)\; .\end{displaymath}

Théorème 4.31  

Soit E un espace vectoriel de dimension $n$ et soit

$\ p\; \in \; {\mathcal L}(E).$ Alors p est une projection s.s.s. $p^{2}=p.$
C'est alors la projection sur Im(p) parallèlement à Ker(p) et,
$\ q=id_E -p$ est la projection sur Ker(p) parallèlement à Im(p).

Corollaire 4.32  

Soit $(E\; ,\; \langle .\; \vert\; . \rangle ) $ un espace euclidien de dimension n
et soit $\ p\; \in \; {\mathcal L}(E)$ une projection sur F parallèlement à H:

\begin{displaymath}p^2=p\; ,\ \ Im(p)=F\ \ \ {\rm {et}}\ \ \ Ker(p)=H\; .\end{displaymath}

Alors p est une projection orthogonale s.s.s. $\ p^{*}=p\; ,$
c'est à dire s.s.s. la matrice de $p\; ,$ dans une base orthonormée, est symetrique.

Remarque 4.33   Soit $(E\; ,\; \langle .\; \vert\; . \rangle ) $ un espace euclidien de dimension n et soit $p\in {\cal L}(E)$ une projection orthogonale sur F=Im(p).

Alors, si $\ \vec{x}\; \in \; E,\ \ p(\vec{x}) $ vérifie

i) L'égalité de Pythagore

\begin{displaymath}
\parallel x\parallel ^{2}=\parallel p(x)\parallel ^{2}
+\parallel x-p(x)\parallel ^{2}
\end{displaymath} (4.19)

ii) $p(\vec{x}) $ est caractérisé comme étant l'unique vecteur de F
minimisant la distance de $\vec{x}$ à F:

\begin{displaymath}
\parallel \vec{x}-p(\vec{x})\parallel =\min_{\vec{v}\in F} \parallel
\vec{x}-\vec{v} \parallel
\end{displaymath} (4.20)

iii) Par définition de la projection orthogonale, $p(\vec{x}) $ est caractérisé par

\begin{displaymath}\{ \vec{y}\; \in \; F\ et\ \vec{x}-\vec{y}\; \in \; F^{\bot }\}
\ \Leftrightarrow \
\{ p(\vec{x})=\vec{y} \} .\end{displaymath}

Exercice 4.34  

Soit $(E\; ,\; \langle .\; \vert\; . \rangle ) $ un espace euclidien de dimension n.

Soit F est un sous-espace de E. Soit $\ {\mathcal B}_F=\{ \vec{b}_1,\ldots , \vec{b}_d\} $
une base de F, et soit $\ p\; \in \; {\mathcal L}(E)$ la projection orthogonale sur F.

Prouver que

\begin{displaymath}\forall \; \vec{x}\; \in \; E,\ \
p(\vec{x})=\sum _{j=1}^{d}...
...b}_1\rangle \cr \vdots \cr \langle
\vec{x};\vec{b}_d\rangle }\end{displaymath}

et G est la matrice de Gram $\ G=(\; \langle \vec{b}_i\vert\vec{b}_j\rangle \; )_{1\leq i,j\leq d} \; .$

Remarque 4.35   Une application importante pour la physique est
la résolution d'un système $AX=Y$
où A est une matrice $n\times m$ (non nécessairement carrée).

Le système n'admet pas toujours de solution.

Par contre le système $\ SX=Z\ avec \ S=A^{\star }A\ et \ Z=A^{\star }Y$
admet toujours une solution caractérisée par

\begin{displaymath}\Vert AX-Y\Vert =\min_{V}\Vert AV-Y\Vert \; \Leftrightarrow \; AX=p(Y)\end{displaymath}

où p est la projection orthogonale sur Im(A).

On dit que X est une 'solution' au sens des moindres carrés.

Parmi ces solutions existe une seule, $X_0,$ de norme la plus petite:

\begin{displaymath}\Vert AX_0-Y\Vert =\min_{V}\Vert AV-Y\Vert \; ,\ \ X_0\; \in \; [Ker(A)]^{\bot } \; .\end{displaymath}

Remarque 4.36   Projection orthogonale sur une droite ou un plan affine

+ Cas du plan affine: $E={\mathbb{R}}^2\; .$

Une droite affine ${\mathcal D}$ de $E$ a une équation de la forme

\begin{displaymath}ax+by=d\; ,\qquad \qquad (\ (a,b)\neq (0,0)\; )\; .\end{displaymath}

Si $M=(\alpha ,\beta )$ est un point de $E\; ,$ sa projection orthogonale sur ${\mathcal D}$ est l'unique point $\ N$ de ${\mathcal D}$ tel que

\begin{displaymath}NM=\Vert {\overrightarrow {NM}}\Vert = \min_{P\in {\mathcal D}} PM\end{displaymath}

ce qui est équivalent à $\ \langle {\overrightarrow {NM}}\; \vert\;
{\overrightarrow {NP}}\rangle \; =\; 0\; ,\ \ \forall \; P\; \in \;
{\mathcal D}\; .$
On en déduit que $\ {\overrightarrow {NM}}\; =\; \lambda (a,b)\; ,$ avec $\lambda \; \in \; {\mathbb{R}}\; .$
En écrivant que $\ N$ est dans ${\mathcal P}\; ,$ on en trouve les coordonnées de $N\; .$

+ Cas de l'espace affine: $E={\mathbb{R}}^2\; .$

+ + Un plan affine ${\mathcal P}$ a une équation de la forme

\begin{displaymath}ax+by+cz=d\; ,\qquad \qquad (\ (a,b,c)\neq (0,0,0)\; )\; .\end{displaymath}

Si $M=(\alpha ,\beta,\gamma )$ est un point de $E\; ,$ sa projection orthogonale sur ${\mathcal P}$ est l'unique point $\ N$ de ${\mathcal P}$ tel que

\begin{displaymath}NM=\Vert {\overrightarrow {NM}}\Vert =min_{P\in {\mathcal P}} PM\end{displaymath}

ce qui est équivalent à $\ \langle {\overrightarrow {NM}}\; \vert\;
{\overrightarrow {NP}}\rangle \; =\; 0\; ,\ \ \forall \; P\; \in \;
{\mathcal P}\; .$
On en déduit que $\ {\overrightarrow {NM}}\; =\; \lambda (a,b,c)\; ,$ avec $\lambda \; \in \; {\mathbb{R}}\; .$
En écrivant que $\ N$ est dans ${\mathcal P}\; ,$ on trouve les coordonnées de $N\; .$

+ + Une droite affine ${\mathcal D}$ a une équation de la forme

\begin{displaymath}ax+by+cz-d=a'x+b'y+c'z-d'=0\; ,\qquad \qquad
(\ \vec{n}=(a,b,c)\wedge (a',b',c')\neq (0,0,0)\; )\; .\end{displaymath}

Si $O\; \in \; {\mathcal D}\; ,$ alors $P\; \in \; {\mathcal D}\ \Leftrightarrow \ {\overrightarrow {OP}}\;
=\; t\; \vec{n}\; .$
Si $M=(\alpha ,\beta,\gamma )$ est un point de $E\; ,$ sa projection orthogonale sur ${\mathcal D}$ est l'unique point $\ N$ de ${\mathcal D}$ tel que

\begin{displaymath}NM=\Vert {\overrightarrow {NM}}\Vert = \min_{P\in {\mathcal D}} PM\end{displaymath}

ce qui est équivalent à $\ {\overrightarrow {NM}}\; =\;
\lambda \vec{n}\rangle \; =\; 0\; ,$ avec $\lambda \; \in \; {\mathbb{R}}\; .$
En écrivant que $\ N$ est dans ${\mathcal D}\; ,$ on trouve les coordonnées de $N\; .$


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Abderemane Morame 2006-06-07