INTERPRETATION DES PREMIERS GROUPES DE COHOMOLOGIE DE HOCHSCHILD DES ALGEBRES ASSOCIATIVES

22 octobre 2010

Dans tout l’exposé, 𝕂 et A désignent respectivement un anneau commutatif et une 𝕂-algèbre associative unitaire.

1 Définition de la cohomologie de Hochschild des algèbres associatives

Définition 1.0.1 Un A-bimodule M est un 𝕂-module muni d’une structure de A-module à droite

\begin{matrix}M ⊗ A & → & M \\ m ⊗ a & ↦ & m · a \end{matrix}

et d’une structure de module à gauche

\begin{matrix}A ⊗ M & → & M \\ a ⊗ m & ↦ & a · m \end{matrix}

telles que

(a · m) · a′ = a · (m · a′)

pour tous a, a′ dans A et m dans M.

Proposition 1.0.2 Soit M un A-bimodule. On définit un complexe de cochaines CH^{∗}(A, M) en posant, pour tout entier naturel n :

CH^{n}(M, A) := Hom(A^{⊗n}, M)

où Hom(−, −) désigne le groupe des morphismes de 𝕂-modules, et en définissant la différentielle d = {d^{n} : CH^{n}(M, A) → CH^{n+1}(M, A)}_{n∈ℕ} par

d^{n}(f)(a_{1} ⊗ a_{2} ⊗ ... ⊗ a_{n+1}) :=a_{1} · f(a_{2} ⊗ ... ⊗ a_{n+1})

+ ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i}f(a_{1} ⊗ ... ⊗ a_{i−1} ⊗ a_{i}a_{i+1} ⊗ a_{i+2}.. ⊗ a_{n+1})

+ (−1)^{n+1}f(a_{1} ⊗ ... ⊗ a_{n}) · a_{n+1}

pour tous n dans ℕ, f dans CH^{n}(M, A), et a_{1}, a_{2},..., a_{n+1} dans A.

Preuve :

Soit n un entier naturel. Montrons que d^{n+1} ∘ d^{n} = 0. Pour i ∈ {0, ..n + 1} on définit d_{i}^{n} par

d_{i}^{n}(f)(a_{1} ⊗ ... ⊗ a_{n+1}) := \{ \begin{matrix}a_{1} · f(a_{2} ⊗ ... ⊗ a_{n+1}) & si i = 0 \\ f(a_{1} ⊗ ... ⊗ a_{n}) · a_{n+1} & si i = n + 1 \\ f(a_{1} ⊗ .. ⊗ a_{i−1} ⊗ a_{i}a_{i+1} ⊗ .. ⊗ a_{n+1}) & sinon \end{matrix}

pour f dans CH^{n}(M, A) et a_{1}, .., a_{n+1} dans A. On vérifie facilement que pour tous i dans {0, .., n + 2} et j dans {0, .., n + 1}

d_{j}^{n+1} ∘ d_{i}^{n} = \{ \begin{matrix}d_{i}^{n+1} ∘ d_{j−1}^{n} & si i ≥ j \\ d_{i+1}^{n+1} ∘ d_{j}^{n} & sinon \end{matrix}

On peut alors écrire

d^{n+1} ∘ d^{n} = ∑_{j=0}^{n+2}(−1)^{j}d_{j}^{n+1} ∘ ∑_{i=0}^{n+1}(−1)^{i}d_{i}^{n}

= ∑_{j=0}^{n+2} ∑_{i=0}^{n+1}(−1)^{i+j}d_{j}^{n+1} ∘ d_{i}^{n}

= ∑_{j=0}^{n+2} ∑_{i=0}^{j−1}(−1)^{i+j}d_{j}^{n+1} ∘ d_{i}^{n} + ∑_{j=0}^{n+2} ∑_{i=j}^{n+1}(−1)^{i+j}d_{j}^{n+1} ∘ d_{i}^{n}

= ∑_{j=0}^{n+2} ∑_{i=0}^{j−1}(−1)^{i+j}d_{i}^{n+1} ∘ d_{j−1}^{n} + ∑_{j=0}^{n+1} ∑_{i=j}^{n+1}(−1)^{i+j}d_{j}^{n+1} ∘ d_{i}^{n}

= − ∑_{j=0}^{n+1} ∑_{i=0}^{j}(−1)^{i+j}d_{i}^{n+1} ∘ d_{j}^{n} + ∑_{j=0}^{n+1} ∑_{i=j}^{n+1}(−1)^{i+j}d_{j}^{n+1} ∘ d_{i}^{n}

= − ∑_{i=0}^{n+1} ∑_{j=i}^{n+1}(−1)^{i+j}d_{i}^{n+1} ∘ d_{j}^{n} + ∑_{j=0}^{n+1} ∑_{i=j}^{n+1}(−1)^{i+j}d_{j}^{n+1} ∘ d_{i}^{n}

= 0

Ce qui achève la preuve du fait que (CH^{∗}(A, M), d) est un complexe de cochaines.

□

Définition 1.0.3 Sous les hypothèses précédentes, le complexe (CH^{∗}(A, M), d) est appelé complexe de cochaines de Hochschild de A à coefficients dans M. Son homologie est notée HH^{∗}(A, M) et appelée cohomologie de Hochschild de A à coeficients dans M i.e

HH^{n}(A, M) : Ker d^{n}/Im d^{n−1}

pour tout entier naturel n, avec la convention d^{−1} = 0.

2 Interprétation de HH^{∗}(A, M) en degrés 0 et 1

Dans la suite de l’exposé M désigne un A-bimodule.

2.1 Degré 0

Remarquons que

HH^{0}(A, M) = Ker d^{0}

et que

\begin{matrix}d^{0} : Hom(𝕂, M) & → & Hom(A, M) \\ f & ↦ & (a → a · f(1) − f(1) · a) \end{matrix}

Ainsi un élément f dans CH^{0}(A, M) est dans Ker d^{0} si et seulement si a · f(1) = f(1) · a pour tout a dans A. Or l’application

\begin{matrix}Hom(𝕂, M) & → & M \\ f & ↦ & f(1) \end{matrix}

est un isomorphisme de A-bimodules et via cet isomorphisme HH^{0}(A, M) s’identifie au sous 𝕂-module de M des invariants :

HH^{0}(A, M) ≃ M^{A} := {m ∈ M / a · m = m · a , ∀a ∈ A}

2.2 Degré 1

Soit f un élément de CH^{1}(A, M). f est un 1-cocycle si et seulement si pour tous a, b dans A

f(ab) = a · f(b) + f(a) · b

c’est à dire si f est homorphisme croisé de A dans M (ou A-dérivation ). Un 1-cobord est une application de la forme a ↦ a·m−m·a pour un certain m dans M, appeléé homomorphisme croisé principal de A dans M (ou A-dérivation intérieure ). Le groupe HH^{1}(A, M) s’identifie donc au groupe des dérivation extérieures, noté OutDer(A, M), de A dans M :

HH^{1}(A, M) = OutDer(A, M) := Der(A, M)/InDer(A, M)

où Der(A, M) (resp. InDer(A, M)) désigne le groupe des dérivations (resp. dérivations intérieures) de A dans M.

3 Interprétation en degré 2

Définition 3.0.1 Une extension (B, π) de A est un morphisme surjectif d’algèbres associatives unitaires

π : B ↠ A

Elle est dite singulière quand le noyau de π est de carré nul c’est à dire lorsque bb′ = 0 pour tous b, b′ dans Ker π.

Elle est dite 𝕂-scindée (ou simplement scindée) lorsque’il existe un morphisme de 𝕂-modules s : A → B tel que π ∘ s = Id_{A}.

De la même manière, on définit une extension singulière de A par M comme la donnée d’une algèbre associative B et d’une suite exacte courte de 𝕂-modules

M ↪^{i} B ↠^{π} A

où π est un morphisme d’algèbres associatives unitaires et i est un morphisme de B-bimodules i.e

i(π(b) · m · π(b′)) = bi(m)b′

pour tous m dans M et b, b′ dans B.

Définition 3.0.2 Deux extensions singulières scindées de A par M

M ↪^{i} B ↠^{π} A

et

M ↪^{i′} B′ ↠^{π′} A

sont dites congruentes si il existe un isomorphisme d’algèbres associatives unitaires ψ : B → B′ tel que le diagramme suivant commute

M ↪^{i} B ↠^{π} A
∥  ↓^{ψ}  ∥
M ↪^{i′} B′ ↠^{π′} A

La congruence d’extensions singulières scindée de A par M est une relation d’équivalence. On note Ext(M, A) l’ensemble des classes de congruence d’extensions singulières scindées de A par M.

Proposition 3.0.3 Soit M ↪^{i} B ↠^{π} A une extension singulière scindée de A par M et s : A → B une section de π. Alors pour tous a et a′ dans A l’élément s(a)s(a′) − s(aa′) est dans l’image de i. De plus l’application f_{s} qui à a ⊗ a′ associe l’unique antécédent de s(a)s(a′) − s(aa′) par i est un 2-cocycle de Hochschild.

Preuve :

Remarquons d’abord que π(s(a)s(a′) − s(aa′)) = π(s(a))π(s(a′)) − π(s(aa′)) = aa′ − aa′ = 0 donc s(a)s(a′) − s(aa′) est bien dans Ker π = Im i d’où l’existence d’un unique élément f_{s}(a ⊗ a′) de M tel que i(f_{s}(a ⊗ a′)) = s(a)s(a′) − s(aa′). La dépendance linéaire de f_{s} en a et a′ est claire par linéarité de s ce qui justifie la présence du tenseur dans f_{s}.

Montrons maintenant que f_{s} est un 2-cocycle de Hochschild. Soient a, a′ et a′′ dans A. Alors

d^{2}f_{s}(a ⊗ a′ ⊗ a′′) = a · f_{s}(a′ ⊗ a′′) − f_{s}(aa′ ⊗ a′′) + f_{s}(a ⊗ a′a′′) − f_{s}(a ⊗ a′) · a′′

D’où

i(d^{2}f_{s}(a ⊗ a′ ⊗ a′′)) = i(a · f_{s}(a′ ⊗ a′′)) − i(f_{s}(aa′ ⊗ a′′)) + i(f_{s}(a ⊗ a′a′′)) − i(f_{s}(a ⊗ a′) · a′′)
= i(π(s(a)) · f_{s}(a′ ⊗ a′′) · π(1_{A})) − s(aa′)s(a′′) + s(aa′a′′)
+ s(a)s(a′a′′) − s(aa′a′′) − i(π(1_{A}) · f_{s}(a ⊗ a′) · π(s(a′′)))
= s(a)(s(a′)s(a′′) − s(a′a′′)) − s(aa′)s(a′′)
+ s(a)s(a′a′′) − (s(a)s(a′) − s(aa′))s(a′′)
= 0

Ainsi i(d^{2}f_{s}(a ⊗ a′ ⊗ a′′)) = 0 donc d^{2}f_{s} est nulle car i est injective et par suite f_{s} est un bien un 2-cocycle de Hochschild.

□

Proposition 3.0.4 Sous les hypothèses précédentes, si s et s′ sont deux sections de π, alors les 2cocycles f_{s} et f_{s′} diffèrent d’un cobord.

Preuve : Soient s et s′ deux sections de π, a et a′ deux éléments de A. Soit w(a) l’unique élément de M défini par

i(w(a)) = s(a) − s(′a)

On a alors

i(d^{1}w(a ⊗ a′)) = i(a · w(a′)) − i(w(aa′)) + i(w(a) · a′)
= s(a)i(w(a′)) − i(w(aa′)) + i(w(a))s′(a′)
= s(a)(s(a′) − s′(a′)) − s(aa′) + s′(aa′) + (s(a) − s′(a))s′(a′)
= s(a)s(a′) − s(aa′) − s′(a)s′(a′) + s′(aa′)
= i(f_{s}(a ⊗ a′) − f_{s′}(a ⊗ a′))

Ce qui prouve bien que f_{s} et f_{s′} diffèrent du cobord d^{1}w.

□

Théorème 3.0.5 L’application φ qui à une extension singulière scindée de A par M associe la classe dans HH^{2}(A, M) du 2-cocycle f_{s} défini précédemment, où s est n’importe quelle section de π, induit une bijection

ϕ : Ext(A, M) → HH^{2}(A, M)

Preuve :

Ce résultat est démontré de facon plus succinte dans [Lan75] Remarquons tout d’abord que φ est bien définie d’après les deux propositions précédentes car f_{s} est toujours un cocycle et sa classe ne dépend pas du choix de la section s.

Montrons que l’application φ passe au quotient par la relation de congruence des extensions singulières scindées pour définir l’application injective ϕ voulue ce qui peut s’écrire sous la forme du lemme suivant :

Lemme 3.0.6 Deux extensions singulières scindées de A par M sont congruentes si et seulement si elles ont même image par φ

Preuve du lemme : Supposons que

M ↪^{i} B ↠^{π} A
∥  ↓^{ψ}  ∥
M ↪^{i′} B′ ↠^{π′} A

sont deux extensions congruentes. Soit s une section de π et soit s′ la section de π′ définie par s′ := ψ∘s. Notons f_{s} et f′_{s} les cocycles construits précédement (3.0.4), représentant les images par φ des deux extensions ci dessus. Pour tous a et a′ dans A, vu que ψ ∘ i = i′ et que ψ est un morphisme d’algèbres, il vient :

i′(f_{s′}(a ⊗ a′)) = ψ(s(a))ψ(s(a′)) − ψ(s(aa′))
= ψ(s(a)s(a′) − s(aa′))
= ψ ∘ i(f_{s}(a ⊗ a′))
= i′(f_{s}(a ⊗ a′))

ce qui prouve que f_{s} = f_{s′} et donc que les deux extensions congruentes ont bien même image par φ.

Réciproquement, soit deux extensions M ↪^{i} B ↠^{π} A et M ↪^{i′} B′ ↠^{π′} A ayant même image par φ. Alors si l’on considère s une section de π et s′ une section de π′, cela signifie que les cocyles f_{s} et f_{s′} associés sont égaux à un 2-cobord près. Il existe donc une application linéaire w : A → M telle que f_{s} − f_{s′} = dw. De plus tout élément de B s’écrit de manière unique sous la forme i(m) + s(a) avec m ∈ M et a ∈ A. De même tout élément B′ s’écrit de manière unique sous la forme i′(m) + s′(a) avec m′ ∈ M et a ∈ A. Il est donc clair que l’application ψ

\begin{matrix}ψ : B & → & B′ \\ i(m) + s(a) & ↦ & i′(m + w(a)) + s′(a) \end{matrix}

est un isomorphisme de 𝕂-modules qui vérifie ψ ∘ i = i′ et π′ ∘ ψ = π. Montrons que c’est en fait un isomorphisme d’algèbres. Soient m, m′ dans M et a, a′ dans A. Alors, vu que i(M) est de carré nul

ψ((i(m) + s(a))(i(m′) + s(a′))) = ψ(i(m)s(a′) + s(a)i(m′) + s(a)s(a′))
= ψ(i(m · a′ + a · m′ + f_{s}(a ⊗ a′)) + s(aa′))
= i′(m · a′ + a · m′ + f_{s}(a ⊗ a′) + w(aa′)) + s′(aa′)
= i′(m · a′ + a · m′ + f_{s}(a ⊗ a′) − dw(a ⊗ a′)
+ a · w(a′) + w(a) · a′) + s′(aa′)

= i′(m · a′ + a · m′ + f_{s′}(a ⊗ a′) + a · w(a′) + w(a) · a′) + s′(aa′)

= i′((m + w(a)) · a′ + a · (m′ + w(a′)) + f_{s′}(a ⊗ a′)) + s′(aa′)
= ψ(i(m) + s(a))ψ(i(m′) + s(a′))

ce qui prouve bien que ψ est un morphisme d’algèbres associatives et achève la démonstration du lemme.

□

Fin de la preuve du théorème :

Le lemme précédent nous donne bien l’existence et l’injectivité de l’application ϕ, il reste donc à établir que cette dernière est surjective. Soit f : A^{⊗2} → M un 2-cocycle de Hochschild quelconque. Vérifions que l’on définit bien une structure de 𝕂-algèbre associative sur M ⊕ A en posant

(m, a) ·_{f} (m′, a′) := (m · a′ + a · m′ + f(a ⊗ a′), aa′)

pour tous a, a′ dans A et m, m′ dans M.

En effet pour a, a′, a′′ dans A et m, m′, m′′ dans M il vient, en utilisant l’identité de cocycle appliquée à f :

((m, a) ·_{f} (m′, a′)) ·_{f} (m′′, a′′) = (m · a′ + a · m′ + f(a ⊗ a′), aa′) ·_{f} (m′′, a′′)
= (m · a′a′′ + a · m′ · a′′ + aa′ · m′′ + f(a ⊗ a′) · a′′ + f(aa′ ⊗ a′′), aa′a′′)
= (m · a′a′′ + a · m′ · a′′ + aa′ · m′′ + a · f(a′ ⊗ a′′) + f(a ⊗ a′a′′), aa′a′′)
= (m · a′a′′ + a · (m′ · a′′ + a′ · m′′ + f(a′ ⊗ a′′)) + f(a ⊗ a′a′′), aa′a′′)
= (m, a) ·_{f} ((m′, a′) ·_{f} (m′′, a′′))

et le produit ·_{f} est bien associatif. De plus l’inclusion canonique i : M → M ⊕ A et la projection π : M ⊕ A → A sur A parallèlement à M donnent lieu à l’extension singulière scindée (il est clair que π est un morphisme d’algèbres associatives)

0 → M →^{i} M ⊕ A →^{π} A → 0

En outre l’inclusion canonique de s : A → M ⊕ A est une section de π dont on vérifie facilement que le cocycle associé f_{s} est exactement f. Nous avons donc construit une extension singulière scindée de noyau M et de conoyau A dont l’image par ϕ est la classe de f dans HH^{3}(A, M) ce qui prouve que ϕ est surjective et achève de démontrer le théorème.

□

4 Interprétation en degré 3

Le cas des algèbres de Lie a été traité dans [Wag04] et [Nee04] Définition 4.0.7 Un module croisé d’algèbres associatives est une application 𝕂-linéaire

p : C → B

où B est une algèbre associative unitaire et C est muni d’une structure de B-bimodule telle que

i) p(b · c · b′) = bp(c)b′
ii) p(c) · c′ = c · p(c′)

pour tous b, b′ dans B et c, c′ dans C.

Si on note J := Ker(p) le noyau de p et D := B/Im(p) le conoyau de p on obtient la suite exacte :

0 → J →^{i} C →^{p} B →^{π} D → 0

où i est l’inclusion de l’idéal J dans C et π la projection de B dans D.

De plus, si s est une section de π, on définit une structure de D-bimodule sur J en posant

d ·_{s} j ·_{s} d′ := s(d) · j · s(d′)

pour tous d, d′ dans D et j dans J. Cette structure ne dépend pas du choix de s.

On dit que le module croisé est scindé lorsqu’il existe une section de π et une application 𝕂-linéaire q : Im(p) → C telle que p ∘ q = Id_{Im(p)}.

Enfin, un module croisé de conoyau A et de noyau M est un module croisé tel que défini précédemment, où A ≃ D en tant qu’algèbre associative unitaire et J ≃ M en tant que A-bimodule. On notera encore π la projection de B dans A et i l’injection de M dans C.

Preuve :

J est un idéal donc les actions à gauche et à droite de D sur J sont bien à valeurs dans J. Les deux choses à vérifier sont donc que la structure de D-bimodule sur J en est bien une et qu’elle ne dépend pas de la section de π choisie.

Soient s et s′ deux choix de section, j un élément de J et d, d′ dans D. Comme s(d)s(d′) − s(dd′) ∈ Ker(π) = Im(p) il existe c ∈ C tel que p(c) = s(d)s(d′) − s(dd′). Alors

(s(d)s(d′)) · j − s(dd′) · j = (s(d)s(d′) − s(dd′)) · j

= p(c) · j

=^{ii)} c′j =^{ii)} c′p(j) = 0

Donc

d ·_{s} (d′ ·_{s} j) = s(d) · (s(d′) · j)) = (s(d)s(d′)) · j = s(dd′) · j = (dd′) ·_{s} j

ce qui prouve que l’action à gauche de D sur J définie via s munit bien J d’une structure de D-module à gauche

De la même manière, vu que s(d) − s′(d) ∈ Ker(π) = Im(p) il existe c′ ∈ C tel que p(c′) = s(d) − s′(d). D’où

s(d) · j − s′(d) · j = (s(d) − s′(d)) · j
= p(c′) · j

=^{ii)} c′p(j) = 0

Ainsi

s(d) · j = s′(d) · j

et la structure de D-module à gauche sur J est bien indépendante du choix de s. On vérifie de la même manière que l’action à droite ne dépend pas non plus du choix s et qu’elle correspond bien à une structure de D-module à droite compatible avec celle à gauche au sens des bimodules.

□

Remarque 4.0.8 La condition i) signifie que p est un morphisme de B-bimodules.

Définition 4.0.9 Soient

0 → M →^{i} C →^{p} B →^{π} A → 0

et

0 → M →^{i′} C′ →^{p′} B′ →^{π′} A → 0

deux modules croisés 𝕂-scindés de conoyau A et de noyau M. On dit qu’ils sont élémentairement équivalents lorsqu’il existe un morphisme d’algèbres associatives unitaires ψ : B → B′ et un morphisme de 𝕂-modules φ : C → C′ (pas forcément bijectifs) tels que le diagramme suivant commute

M →^{i} C →^{p} B →^{π} A
||  ↓_{φ}  ↓_{ψ}  ||
M →^{i′} C′ →^{p′} B′ →^{π′} A

et vérifiant

φ(a · m · a′) = ψ(a) · φ(m) · ψ(a′)

pour tous a, a′ dans A et m dans M. La relation d’élémentaire équivalence est transitive et réflexive mais pas nécéssairement symétrique. On appelle équivalence de modules croisées de conoyau A et de noyau M la relation d’équivalence engendrée par la relation d’élémentaire équivalence. On note Crossmod(M, A) l’ensemble des classes d’équivalence de modules croisés de noyau M et de conoyau A.

Proposition 4.0.10 Soit

0 → M →^{i} C →^{p} B →^{π} A → 0

un module croisé scindé de conoyau A et de noyau M, s une section de π et

q : Im(p) = Ker(π) → C

une application 𝕂-linéaire telle que p ∘ q = Id_{Im(p)}. Pour a et a′ dans A l’élément s(a)s(a′) − s(aa′) est dans le noyau de π donc dans l’image de p. Posons

β_{s,q}(a ⊗ a′) := q(s(a)s(a′) − s(aa′))

Alors, l’élément d_{H}^{s}β_{s,q}(a ⊗ a′ ⊗ a′′) défini pour tous a, a′ et a′′ dans A par

d_{H}^{s}β_{s,q}(a ⊗ a′ ⊗ a′′) = s(a) · β_{s,q}(a′ ⊗ a′′) − β_{s,q}(aa′ ⊗ a′′) + β_{s,q}(a ⊗ a′a′′) − β_{s,q}(a ⊗ a′) · s(a′′)

est dans le noyau de p. Il existe donc un unique élément γ_{s,q}(a ⊗ a′ ⊗ a′′) dans M tel que

i(γ_{s,q}(a ⊗ a′ ⊗ a′′)) = d_{H}^{s}β_{s,q}(a ⊗ a′ ⊗ a′′)

Sous ces hypoyhèses, l’application γ_{s,q} : A^{⊗3} → M ainsi définie est un 3-cocycle de Hochschild de A à valeurs dans M. En outre la classe de γ_{s,q} dans HH(A, M) ne dépend pas des choix de s et q.

Remarque 4.0.11 On a utilisé la notation tensorielle en argument de γ_{s,q} car si a, a′, a′′ et a′′′ sont dans A on vérifie que

i(γ_{s,q}((a + a′) ⊗ a′′ ⊗ a′′′)) = i(γ_{s,q}(a ⊗ a′′ ⊗ a′′′) + γ_{s,q}(a′ ⊗ a′′ ⊗ a′′′))

ce qui prouve que γ_{s,q} est trilinéaire.

Preuve de la proposition :

– Montrons d’abord que γ_{s,q} est un 3-cocycle de Hochschild. Soient a, a′, a′′ et a′′′ trois éléments de A. Alors

d^{3}γ_{s,q}(a ⊗ a′ ⊗ a′′ ⊗ a′′′) = a · γ_{s,q}(a′ ⊗ a′′ ⊗ a′′′) − γ_{s,q}(aa′ ⊗ a′′ ⊗ a′′′)
+ γ_{s,q}(a ⊗ a′a′′ ⊗ a′′′) − γ_{s,q}(a ⊗ a′ ⊗ a′′a′′′)
+ γ_{s,q}(a ⊗ a′ ⊗ a′′) · a′′′

Donc

i(d^{3}γ_{s,q}(a ⊗ a′ ⊗ a′′ ⊗ a′′′)) = s(a) · i(γ_{s,q}(a′ ⊗ a′′ ⊗ a′′′)) − i(γ_{s,q}(aa′ ⊗ a′′ ⊗ a′′′))

+ i(γ_{s,q}(a ⊗ a′a′′ ⊗ a′′′)) − i(γ_{s,q}(a ⊗ a′ ⊗ a′′a′′′)) + i(γ_{s,q}(a ⊗ a′ ⊗ a′′)) · s(a′′′) = s(a) · d_{H}^{s}β_{s,q}(a′ ⊗ a′′ ⊗ a′′′) − d_{H}^{s}β_{s,q}(aa′ ⊗ a′′ ⊗ a′′′) + d_{H}^{s}β_{s,q}(a ⊗ a′a′′ ⊗ a′′′) − d_{H}^{s}β_{s,q}(a ⊗ a′ ⊗ a′′a′′′) + d_{H}^{s}β_{s,q}(a ⊗ a′ ⊗ a′′) · s(a′′′) = s(a) · [s(a′) · β_{s,q}(a′′ ⊗ a′′′) − β_{s,q}(a′a′′ ⊗ a′′′) + β_{s,q}(a′ ⊗ a′′a′′′) − β_{s,q}(a′ ⊗ a′′) · s(a′′′)] − s(aa′) · β_{s,q}(a′′ ⊗ a′′′) + β_{s,q}(aa′a′′ ⊗ a′′′) − β_{s,q}(aa′ ⊗ a′′a′′′) + β_{s,q}(aa′ ⊗ a′′) · s(a′′′) + s(a) · β_{s,q}(a′a′′ ⊗ a′′′) − β_{s,q}(aa′a′′ ⊗ a′′′) + β_{s,q}(a ⊗ a′a′′a′′′) − β_{s,q}(a ⊗ a′a′′) · s(a′′′) − s(a) · β_{s,q}(a′ ⊗ a′′a′′′) + β_{s,q}(aa′ ⊗ a′′a′′′) − β_{s,q}(a ⊗ a′a′′a′′′) + β_{s,q}(a ⊗ a′) · s(a′′a′′′) + [s(a) · β_{s,q}(a′ ⊗ a′′) − β_{s,q}(aa′ ⊗ a′′) + β_{s,q}(a ⊗ a′a′′) − β_{s,q}(a ⊗ a′) · s(a′′)] · s(a′′′)

ce qui donne après simplification des termes égaux :

i(d^{3}γ_{s,q}(a ⊗ a′ ⊗ a′′ ⊗ a′′′)) = [s(a)s(a′) − s(aa′)] · β_{s,q}(a′′ ⊗ a′′′) + β_{s,q}(a ⊗ a′) · [s(a′′a′′′) − s(a′′)s(a′′′)]

Comme s(a)s(a′) − s(aa′) = p(β_{s,q}(a ⊗ a′)), la condition ii) de la définition de module croisé permet d’écrire

i(d^{3}γ_{s,q}(a ⊗ a′ ⊗ a′′ ⊗ a′′′)) = p(β_{s,q}(a ⊗ a′)) · β_{s,q}(a′′ ⊗ a′′′) + β_{s,q}(a ⊗ a′) · [s(a′′a′′′) − s(a′′)s(a′′′)]

= β_{s,q}(a ⊗ a′) · p(β_{s,q}(a′′ ⊗ a′′′)) + β_{s,q}(a ⊗ a′) · [s(a′′a′′′) − s(a′′)s(a′′′)] = 0

Ce qui prouve que γ_{s,q} est un 3-cocycle de Hochschild de A à valeurs dans M.

– Montrons maintenant qu’à s fixée, la classe du cocycle γ_{s,q} dans HH(A, M) ne dépend pas du choix de l’application q. Soient donc q et q′ deux tels choix. Alors pour tous a, a′ et a′′ dans A

i(γ_{s,q}(a ⊗ a′ ⊗ a′′) − γ_{s,q′}(a ⊗ a′ ⊗ a′′)) = d_{H}^{s}β_{s,q}(a ⊗ a′ ⊗ a′′) − d_{H}^{s}β_{s,q′}(a ⊗ a′ ⊗ a′′)

= s(a) · (β_{s,q} − β_{s,q′})(a′ ⊗ a′′) − (β_{s,q} − β_{s,q′})(aa′ ⊗ a′′) + (β_{s,q} − β_{s,q′})(a ⊗ a′a′′) − (β_{s,q} − β_{s,q′})(a ⊗ a′) · s(a′′)

Or, vu que p(β_{s,q} − β_{s,q′}) = 0, il existe w : A^{⊗2} → M telle que i ∘ w = β_{s,q} − β_{s,q′} donc

i(γ_{s,q}(a ⊗ a′ ⊗ a′′) − γ_{s,q′}(a ⊗ a′ ⊗ a′′)) = s(a) · i(w(a′ ⊗ a′′)) − (i(w(aa′ ⊗ a′′)) + i(w(a ⊗ a′a′′))
− i(w(a ⊗ a′)) · s(a′′)
= i(d^{2}w(a ⊗ a′ ⊗ a′′))

Donc γ_{s,q} et γ_{s,q′} sont égaux à un 2-cobord près ce qui prouve bien que la classe de γ_{s,q} dans HH(A, M) ne dépend pas du choix de q que l’on ne notera désormais plus en indice pour alleger les notations.

– Pour finir, il reste à démontrer que deux choix de section de π donnent lieu à deux cocycles égaux à un cobord près. Soient s : A → B et s′ : A → B deux sections de π. Comme

π ∘ (s − s′) = 0

il est licite de définir l’application 𝕂-linéaire h : A → C par

h := q ∘ (s − s′)

puis l’application b : A^{⊗2} → C par

b(a ⊗ a′) := s(a) · h(a′) − h(aa′) + h(a) · s′(a′) ∀a, a′ ∈ A

Soient a, a′′ et a′′ dans A. Remarquons que

p(b(a⊗a′)) = p(s(a)·h(a′)−h(aa′)+h(a)·s′(a′)) = s(a)s(a′)−s(aa′)+s′(aa′)−s′(a)s′(a′) = p((β_{s}−β_{s′})(a⊗a′))

et il existe donc w : A^{⊗2} → M telle que

β_{s} − β_{s′} = b + i ∘ w

On peut alors écrire

i((γ_{s} − γ_{s′})(a ⊗ a′ ⊗ a′′)) = d_{H}^{s}β_{s}(a ⊗ a′) − d_{H}^{s′}β_{s′}(a ⊗ a′)
= s(a) · β_{s}(a′ ⊗ a′′) − β_{s}(aa′ ⊗ a′′) + β_{s}(a ⊗ a′a′′) − β_{s}(a ⊗ a′) · s(a′′)
− s′(a) · β_{s′}(a′ ⊗ a′′) + β_{s′}(aa′ ⊗ a′′) − β_{s′}(a ⊗ a′a′′) + β_{s′}(a ⊗ a′) · s′(a′′)
= d_{H}(β_{s} − β_{s′})(a ⊗ a′ ⊗ a′′)) + (s(a) − s′(a)) · β_{s′}(a′ ⊗ a′′)
− β_{s}(a ⊗ a′) · (s(a′′) − s′(a′′))
= d_{H}(i ∘ w)(a ⊗ a′ ⊗ a′′)) + (s(a) − s′(a)) · β_{s′}(a′ ⊗ a′′)
− β_{s}(a ⊗ a′) · (s(a′′) − s′(a′′)) + d_{H}b(a ⊗ a′ ⊗ a′′)

où l’on a posé

d_{H}u(a ⊗ a′ ⊗ a′′) = s(a) · u(a′ ⊗ a′′) − u(aa′ ⊗ a′′) + u(a ⊗ a′a′′) − u(a ⊗ a′) · s′(a′′)

Comme i ∘ d^{2} = d_{H} ∘ i il vient

i((γ_{s} − γ_{s′})(a ⊗ a′ ⊗ a′′)) = i(d^{2}w(a ⊗ a′ ⊗ a′′)) + (s(a) − s′(a)) · β_{s′}(a′ ⊗ a′′) − β_{s}(a ⊗ a′) · (s(a′′) − s′(a′′))
+ s(a) · [s(a′) · h(a′′) − h(a′a′′) + h(a′) · s′(a′′)] − s(aa′) · h(a′′) + h(aa′a′′)
− h(aa′) · s′(a′′) + s(a) · h(a′a′′) − h(aa′a′′) + h(a) · s′(a′a′′)
− [s(a) · h(a′) − h(aa′) + h(a) · s′(a′)] · s′(a′′)

= i(d^{2}w(a ⊗ a′ ⊗ a′′)) + (s(a) − s′(a)) · β_{s′}(a′ ⊗ a′′) − β_{s}(a ⊗ a′) · (s(a′′) − s′(a′′))

+ [s(a)s(a′) − s(aa′)] · h(a′′) − h(a) · [s′(a′)s′(a′′) − s′(a′a′′)]

En utilisant de nouveau le fait que s′(a′)s′(a′′) − s′(a′a′′) = p(β_{s′}(a′ ⊗ a′′)), que s(a)s(a′) − s(aa′) = p(β_{s}(a ⊗ a′)), et la condition ii) de la définition de module croisé, il s’ensuit

i((γ_{s} − γ_{s′})(a ⊗ a′ ⊗ a′′)) = i(d^{2}w(a ⊗ a′ ⊗ a′′)) + (s(a) − s′(a)) · β_{s′}(a′ ⊗ a′′) − β_{s}(a ⊗ a′) · (s(a′′) − s′(a′′))
+ p(β_{s}(a ⊗ a′)) · h(a′′) − h(a) · p(β_{s′}(a′ ⊗ a′′))

= i(d^{2}w(a ⊗ a′ ⊗ a′′)) + (s(a) − s′(a)) · β_{s′}(a′ ⊗ a′′) − β_{s}(a ⊗ a′) · (s(a′′) − s′(a′′))

+ β_{s}(a ⊗ a′) · p(h(a′′)) − p(h(a)) · β_{s′}(a′ ⊗ a′′)
= i(dw(a ⊗ a′ ⊗ a′′))

D’où

γ_{s} − γ_{s′} = d^{2}w

ce qui prouve bien que [γ_{s}] = [γ_{s′}] dans HH^{3}(A, M) et termine la démonstration de la proposition.

□

La proposition précédente permet donc d’énoncer le théorème suivant :

Théorème 4.0.12 Supposons que 𝕂 est un corps. L’application qui à un module croisé de noyau M et de conoyau A associe la classe dans HH^{3}(A, M) du cocycle γ_{s,q} défini précédement passe au quotient par la relation d’équivalence de modules croisés pour définir une bijection θ de l’ensemble des classes d’équivalences de modules croisés scindés de noyau M et de conoyau A à valeurs dans HH^{3}(A, M).

Preuve : La preuve donnée ici est une paraphrase de celle que l’on peut trouver dans [BM02]

1) Commencons par montrer que l’application θ est bien définie. Soient

[figure: 0; M; i; C; ϕ; p; B; ψ; π; A; 0; 0; M; i′; C′; p′; B′; π′; A; 0]

deux modules croisés 𝕂-scindés élémentairement équivalents. Choisissons s une section de π, q une section de p : C → Im(p) et q′ une section de p′ : C′ → Im(p′). Posons s′ := ψ ∘ s. Il est clair que s′ est une section de π′. Il s’agit alors de démontrer que γ_{s,q} et γ_{s′,q′} diffèrent d’un cobord. Soient a, a′, a′′ dans A. Alors d’après les relations qui lient ϕ et ψ dans la définition d’élémentaire équivalence et le fait que i′ = ϕ ∘ i :

i′(γ_{s,q}(a ⊗ a′ ⊗ a′′)) = ϕ(d_{H}^{s}β_{s,q}(a ⊗ a′ ⊗ a′′))

= ϕ(s(a) · β_{s,q}(a ⊗ a′) − β_{s,q}(aa′ ⊗ a′′) + β_{s,q}(a ⊗ a′a′′) − β_{s,q}(a ⊗ a′) · s(a′′))

= s′(a) · ϕ(β_{s,q}(a ⊗ a′)) − ϕ(β_{s,q}(aa′ ⊗ a′′)) + ϕ(β_{s,q}(a ⊗ a′a′′)) − ϕ(β_{s,q}(a ⊗ a′)) · s′(a′′)

= d_{H}^{s′}(ϕ ∘ β_{s,q})(a ⊗ a′ ⊗ a′′)

D’autre part, vu que p′ ∘ ϕ = ψ ∘ p et que ψ est un morphisme d’algèbres, il vient

p′((β_{s′,q′} − ϕ ∘ β_{s,q})(a ⊗ a′)) = p′(β_{s′,q′}(a ⊗ a′)) − ψ(p(β_{s,q}(a ⊗ a′)))

= s′(a)s′(a′) + s′(aa′) − ψ(s(a)s(a′) − s(aa′)) = 0

D’où l’existence d’une unique application bilinéaire v : A^{⊗2} → M telle que i′ ∘ v = β_{s′,q′} − ϕ ∘ β_{s,q}. Il s’ensuit alors que

i′ ∘ (γ_{s′,q′} − γ_{s,q}) = d_{H}^{s′}(β_{s′,q′} − ϕ ∘ β_{s,q})
= d_{H}^{s′}(i′ ∘ v)
= i′ ∘ d^{3}v

ce qui prouve bien que γ_{s,q} et γ_{s′,q′} diffèrent d’un cobord et démontre que l’application θ est bien définie.

2) Montrons maintenant que pour tout 3-cocycle c de A à valeurs dans M il existe un module croisé de noyau M et de conoyau A, et un choix de sections s et q̃, tels que γ_{s,q̃} = c (c’est la surjectivité de θ). Pour ce faire nous allons utiliser le lemme suivant :

Lemme 4.0.13 Soit B une algèbre assocative unitaire, V un 𝕂-module, et d : V → B une application 𝕂-linéaire. Considérons les applications

d_{2} : B ⊗ V ⊗ B ⊗ V ⊗ B → B ⊗ V ⊗ B

et

d_{1} : B ⊗ V ⊗ B → B

définies par

d_{2}(b ⊗ v ⊗ b′ ⊗ v′ ⊗ v′′) := (bd(v)b′ ⊗ v′ ⊗ b′′ − b ⊗ v ⊗ b′d(v′)b′′

et

d_{1}(b ⊗ v ⊗ b′) := bd(v)b′

pour tous b, b′, b′′ dans B et v, v′ dans V. Alors d_{1} ∘ d_{2} = 0 et donc d_{1} passe au quotient pour induire une application

p : C = (B ⊗ V ⊗ B)/Im(d_{2}) → B

qui est un module croisé. Preuve du lemme : Tout d’abord, pour b, b′, b′′ dans B et v, v′ dans V, il vient :

d_{1} ∘ d_{2}(b ⊗ v ⊗ b′ ⊗ v′ ⊗ b′′) = d_{1}(bd(v)b′ ⊗ v′ ⊗ b′′ − b ⊗ v ⊗ b′d(v′)b′′)
= bd(v)b′d(v′)b′′ − bd(v)b′d(v′)b′′ = 0

donc d_{1} ∘ d_{2} = 0 ce qui prouve que p est bien définie. Montons maintenant que la structure de B-bimodule sur B ⊗ V ⊗ B passe au quotient par Im(d_{2}). Soient b, b′, b′′, s et t dans B ainsi que v et v′ dans V. Il s’agit de montrer que d_{1}(s · d_{2}(b ⊗ v ⊗ b′ ⊗ v′ ⊗ b′′) · t) = 0. Et en effet :

d_{1}(s · d_{2}(b ⊗ v ⊗ b′ ⊗ v′ ⊗ b′′) · t) = d_{1}(sbd(v)b′ ⊗ v′ ⊗ b′′t − sb ⊗ v ⊗ b′d(v′)b′′t) =
= d_{1} ∘ d_{2}(s · (b ⊗ v ⊗ b′ ⊗ v′ ⊗ b′′) · t) = 0

Remarquons qu’on a en fait utilisé que d_{2} est un morphisme de B-bimodules. Pour finir il reste à vérifier les conditions i) et ii) de la définition de module croisé. La condition i) est clairement vérifiée par associativité du produit dans B :

p([s · (b ⊗ v ⊗ b′) · t]) = d_{1}(sb ⊗ v ⊗ b′t) = sbd(v)b′t = sp(b ⊗ v ⊗ b′)t

où le crochet [ ] représent la classe d’un élément dans W. Pour ce qui est de la condition ii) on peut écrire

p([b ⊗ v ⊗ b′]) · [b′′ ⊗ v′ ⊗ b′′′] − [b ⊗ v ⊗ b′] · p([b′′ ⊗ v′ ⊗ b′′′]) = [bd(v)b′b′′ ⊗ v′ ⊗ b′′′ − b ⊗ v ⊗ b′b′′d(v′)b′′′]
= [d_{2}(b ⊗ v ⊗ b′b′′ ⊗ v′ ⊗ b′′′)] = 0

pour tous b, b′, b′′, b′′′ dans B et v, v′ dans V.

□

Fin de la preuve du théorème : Considérons

B := T (A) = ⨁_{n≥0} A^{⊗n}

l’algèbre tensorielle engendrée par A et posons

V := A ⊗ A puis définissons une application 𝕂-linéaire d : V → B par

d(a ⊗ a′) = a ⊗ a′ − aa′ ∀a, a′ ∈ A

En appliquant le lemme précédent on obtient l’existence d’une application d_{2} : B ⊗ V ⊗ B ⊗ V ⊗ B → B ⊗ V ⊗ B et d’un module croisé

p : C := T (A) ⊗ (A ⊗ A) ⊗ T (A)/Im(d_{2}) ↠ B = T (A)

Montrons que le conoyau de ce module croisé est exactement A. Pour ce faire considérons la surjection π : T (A) → A définie par π(a_{1} ⊗ ... ⊗ a_{n}) = a_{1}...a_{n}. Il s’agit de voir que Im(p) = Ker(π). Considérons b une élément quelconque de T (A). Alors b peut s’écrire

b = ∑_{j=1}^{s} a_{1}^{j} ⊗ ... ⊗ a_{n_{j}}^{j}

avec s, n_{1},.., n_{s} entiers positifs, et a_{i}^{j} dans A pour tous 1 ≤ j ≤ s et 1 ≤ i ≤ n_{j}. Ainsi

b = ∑_{j=1}^{s} 1 ⊗ a_{1}^{j} ⊗ ... ⊗ a_{n_{j}}^{j} ⊗ 1 = ∑_{j=1}^{s}{ ∑_{k=1}^{n_{j}−1}(1 ⊗ a_{1}^{j}...a_{k}^{j} ⊗ a_{k+1}^{j} ⊗ ... ⊗ a_{n_{j}}^{j} ⊗ 1

− 1 ⊗ a_{1}^{j}...a_{k+1}^{j} ⊗ a_{k+2}^{j} ⊗ a_{n_{j}}^{j} ⊗ 1) + 1 ⊗ a_{1}^{j}...a_{n_{j}}^{j} ⊗ 1}

= ∑_{j=1}^{s} ∑_{k=1}^{n_{j}−1} p([1 ⊗ (a_{1}^{j}...a_{k}^{j} ⊗ a_{k+1}^{j}) ⊗ a_{k+2}^{j} ⊗ ... ⊗ a_{n_{j}}^{j} ⊗ 1]) + ∑_{j=1}^{s} a_{1}^{j}...a_{n_{j}}^{j}

= p([∑_{j=1}^{s} ∑_{k=1}^{n_{j}−1}[1 ⊗ (a_{1}^{j}...a_{k}^{j} ⊗ a_{k+1}^{j}) ⊗ a_{k+2}^{j} ⊗ ... ⊗ a_{n_{j}}^{j} ⊗ 1]) + π(b)

ce qui prouve bien que si b ∈ Ker(π) si et seulement si b ∈ Im(p) d’où Ker(π) = Im(p). Notons N le noyau de p et i l’inclusion de N dans C. Nous avons ainsi construit un module croisé de noyau N et de conoyau A

0 → N →^{i} C →^{p} T (A) →^{π} A → 0

D’autre part considérons la bar résolution {A^{⊗n+2}, d_{n}}_{n∈ℕ} de A munie de l’augmentation donnée par le produit μ : A ⊗ A → A. Elle induit une suite exacte (car la bar résolution est acyclique) de morphismes de A-bimodules :

0 → A^{⊗5}/Im(d_{4}) →^{d_{3}} A^{⊗4} →^{d_{2}} A^{⊗3} →^{d_{1}} A^{⊗2} →^{μ} A

On peut alors construire le diagramme commutatif à lignes exactes suivant :

0 →  N  →^{i} C →^{p} T (A) →^{π} A → 0
↓_{h}  ↓_{h_{1}}  ↓_{h_{0}}
0 → A^{⊗5}/Im(d_{4}) →^{d_{3}} A^{⊗4} →^{d_{2}} A^{⊗3} →^{d_{1}} A^{⊗2} →^{μ} A

où h_{0}, h_{1} et h sont définies de la manière suivante :

– h_{0}(a) := 1 ⊗ a ⊗ 1 pour tout a ∈ A (ici 1 désigne l’unité de A) et h_{0}(xy) := h_{0}(x) · π(y) + π(x) · h_{0}(y) pour tous x, y dans T (A).

– h_{1}([x ⊗ (a ⊗ a′) ⊗ y]) := π(x) ⊗ a ⊗ a′ ⊗ π(y) pour tous a, a′ dans A et x, y dans T (A).

– h(n) := [1 ⊗ h_{1}(n)] pour tout n ∈ N.

En effet pour x, y dans T (A) et a, a′ dans A il vient

h_{0}(p([x ⊗ (a ⊗ a′) ⊗ y])) = h_{0}(x ⊗ a ⊗ a′ ⊗ y) − h_{0}(x ⊗ aa′ ⊗ y)

= h_{0}(x ⊗ a)π(a′ ⊗ y) + π(x ⊗ a)h_{0}(a′ ⊗ y) − h_{0}(x ⊗ aa′)π(y) − π(x ⊗ aa′)h_{0}(y) = h_{0}(x)aa′π(y) + π(x)(1 ⊗ a ⊗ 1)a′π(y) + π(x)a(1 ⊗ a′ ⊗ 1)π(y) + π(x)aa′h_{0}(y)

− h_{0}(x)aa′π(y) − π(x)(1 ⊗ aa′ ⊗ 1)π(y) − π(x)aa′h_{0}(y)
= π(x) ⊗ a ⊗ (a′π(y)) − π(x) ⊗ aa′ ⊗ π(y) + (π(x)a) ⊗ a′ ⊗ π(y)
= d_{2}(π(x) ⊗ a ⊗ a′ ⊗ π(y))
= d_{2}(h_{1}(x ⊗ a ⊗ a′ ⊗ y))

ce qui prouve bien que h_{0} ∘ p = d_{2} ∘ h_{1}. De plus lorsque [x ⊗ (a ⊗ a′) ⊗ y] est dans Ker(p) on a :

d_{3}(h_{0}(n) = d_{3}([1 ⊗ h_{1}(n)])
= h_{1}(n) + 1 ⊗ d_{2}(h_{1}(n))
= h_{1}(n) + 1 ⊗ h_{0}(p(n))
= h_{1}(n)

ce qui achève de prouver que le diagramme est commutatif. Ainsi si on ce donne un 3-cocycle c de Hochschild à valeurs dans M, qui peut être vu comme un morphisme de A-bimodules c : A^{⊗5}/Im d_{4} → M, et que l’on pose c̃:= c ∘ h : N → M il apparait le diagramme de T (A)-bimodules commutatif suivant (M est un T (A)-bimodule via π) :

N ⟶^{i} C
c̃ ↓  ↓^{p}
M ⟶^{0} T (A)

qui combiné avec le push out de T (A)-bimodules

\begin{matrix}N & ⟶^{i_{1}} & C \\ c̃ ↓ & & ↓^{p} \\ M & ⟶^{i_{2}} & C̃ \end{matrix}

permet d’obtenir le morphisme de T (A)-bimodules p̃: C̃ → T (A) qui fait commuter le diagramme suivant

\xymatrix{N \ar[r]^{i} \ar[d]^{c̃} & C \ar[ddr]^{p} \ar[d]^{i_{2}} \\ M \ar[r]^{i_{1}} \ar[drr]|{0} & C̃ \ar[dr]^{p̃} \\  &  & T (A)}

Il reste à vérifier que le module croisé de noyau M et de conoyau A

0 → M →^{i_{1}} C̃ →^{p̃} T (A) →^{π} A → 0

est bien un antécédent de la classe de c. Pour ce faire, considérons la section s de π définie par s(a) := a pour tout a dans A et la section q : Im(p) → C définie par

q(a ⊗ a′ − aa′) := [1 ⊗ (a ⊗ a′) ⊗ 1]

pour tout a ⊗ a′ − aa′ dans Im(p). Il est alors clair que l’application i_{2} ∘ q : Im(p̃) → C̃ est une section de p̃: C̃ → Im(p̃) = Ker(π). Calculons alors le cocycle image du module croisé γ_{s,q̃}. Soient a, a′ et a′′ dans A. Il vient

i_{1}(γ_{s,q̃}(a ⊗ a′ ⊗ a′′)) = d_{H}^{s}β_{s,q̃}(a ⊗ a′ ⊗ a′′)
= [(0, d_{H}^{s}β_{s,q}(a ⊗ a′ ⊗ a′′))]
= [(0, [a ⊗ a′ ⊗ a′′ ⊗ 1 − 1 ⊗ aa′ ⊗ a′′ ⊗ 1 + 1 ⊗ a ⊗ a′a′′ ⊗ 1 − 1 ⊗ a ⊗ a′ ⊗ a′′])]
= [(c ∘ h(a ⊗ a′ ⊗ a′′ ⊗ 1 − 1 ⊗ aa′ ⊗ a′′ ⊗ 1 + 1 ⊗ a ⊗ a′a′′ ⊗ 1 − 1 ⊗ a ⊗ a′ ⊗ a′′), 0]
= [(c([1 ⊗ a ⊗ a′ ⊗ a′′ ⊗ 1 − 1 ⊗ 1 ⊗ aa′ ⊗ a′′ ⊗ 1 + 1 ⊗ 1 ⊗ a ⊗ a′a′′ ⊗ 1 − 1 ⊗ 1 ⊗ a ⊗ a′ ⊗ a′′]), 0]

Or

d_{4}(1 ⊗ 1 ⊗ a ⊗ a′ ⊗ a′′ ⊗ 1) = 1 ⊗ a ⊗ a′ ⊗ a′′ ⊗ 1 − 1 ⊗ a ⊗ a′ ⊗ a′′ ⊗ 1 + 1 ⊗ 1 ⊗ aa′ ⊗ a′′ ⊗ 1 − 1 ⊗ 1 ⊗ a ⊗ a′a′′ ⊗ 1 + 1 ⊗ 1 ⊗ a ⊗ a′ ⊗ a′′
= 1 ⊗ 1 ⊗ aa′ ⊗ a′′ ⊗ 1 − 1 ⊗ 1 ⊗ a ⊗ a′a′′ ⊗ 1 + 1 ⊗ 1 ⊗ a ⊗ a′ ⊗ a′′

donc

[1 ⊗ 1 ⊗ aa′ ⊗ a′′ ⊗ 1 − 1 ⊗ 1 ⊗ a ⊗ a′a′′ ⊗ 1 + 1 ⊗ 1 ⊗ a ⊗ a′ ⊗ a′′] = 0

dans A^{⊗5}/Im(d_{4}) et il s’ensuit

i_{1}(γ_{s,q̃}(a ⊗ a′ ⊗ a′′)) = [(c([1 ⊗ A ⊗ a′ ⊗ a′′ ⊗ 1]), O)] = i_{1}(c(a ⊗ a′ ⊗ a′′))

ce qui prouve bien que le module croisé construit est bien un antécédent de [c] dans HH^{3}(A, M) et démontre donc que l’application

θ : [0 → M → C → B → A → 0] ∈ Crossmod(M, A) ⟼ [γ_{s,q}] ∈ HH^{3}(A, M)

est surjective.

3) Pour terminer nous allons vérifier que l’application θ est bien injective. Conservons les notations précédentes et supposons l’existence d’un module croisé scindé

0 → M →^{u} E →^{μ} D →^{ρ} A → 0

dont l’image par θ serait [c]. Cela signifie que pour un bon choix de sections σ de ρ et t de μ : E → Im(μ) on a γ_{σ,t} = c. En effet si ce n’est pas le cas soit λ : A^{⊗2} → M telle que c = γ_{σ,t} + d^{2}λ. On voit que le diagramme

\xymatrix{A^{⊗2} \ar[r]^{β_{σ,t}+uλ} \ar[dr]^{α_{s}} & C \ar[d]^{p} \\  & Im(μ)}

est commutatif. Comme Im(α_{σ}) ⊂ Im(μ) considérons {e_{i}}_{i∈I} une base de Im(α) que l’on complète en une base de Im(μ) notée {e_{i}}_{j∈J} avec I ⊂ J. Pour tout i ∈ I choisissons y_{i} ∈ α_{σ}^{−1}({e_{i}}) et posons t′(e_{i}) := (β_{σ,t} + u ∘ λ)(y_{i}). Pour j ∈ J − I posons t′(e_{j}) := c_{j} où c_{j} est n’importe quel antécédent de e_{j} pour μ. Nous avons ainsi défini une application t′ : Im(μ) → C telle que μ ∘ t′ = Id_{Im(μ)} et

t′ ∘ α_{σ} = β_{σ,t} + u ∘ λ

et il est clair que γ_{σ,t′} = c.

Considérons le diagramme commutatif suivant :

[figure: 0; N; i; ch; C; p; ḡ; T (A); π; σ̄; A; 0; 0; M; u; E; μ; D; ρ; A; 0]

où σ̄ : T (A) → D est le morphisme d’algèbres induit par σ et ḡ : C → E est l’application linéaire induite par β_{σ,t′} : A^{⊗2} → E. Le carré de droite est clairement commutatif, vérifions donc la commutativité des deux autres. Soient x, y dans T (A) et a, a′ dans A. Alors

μ(ḡ([x ⊗ (a ⊗ a′) ⊗ y])) = μ(σ̄(x) · β_{σ,t′}(a ⊗ a′) · σ̄(y))
= σ̄(x)μ(β_{σ,t′}(a ⊗ a′))σ̄(y)
= σ̄(x)(σ̄(a)σ̄(a′) − σ̄(aa′))σ̄(y)
= σ̄(x ⊗ a ⊗ a′ ⊗ y − x ⊗ aa′ ⊗ y)
= σ̄(p([x ⊗ (a ⊗ a′) ⊗ y]))

ce qui prouve que le carré central commute bien. Pour ce qui est du carré de gauche nous admettrons pour le moment qu’il commute également. Nous sommes alors dans la situation suivante :

\xymatrix{N \ar[r]^{i} \ar[d]^{ch} & C \ar[ddr]^{ḡ} \ar[d]^{i_{2}} \\ M \ar[r]^{i_{1}} \ar[drr]|{u} & C̃ \\  &  & E}

et par la proprieté universelle du push out il existe un unique morphisme de 𝕂-modules φ : C̃ → E tel que le diagramme précédent commute. Nous voyons alors que le diagramme

[figure: 0; M; i_{1}; C̃; p̃; φ; T (A); π; σ̄; A; 0; 0; M; u; E; μ; D; ρ; A; 0]

est une équivalence élémentaire de modules croisé ce qui prouve que tous les antécédents de [c] sont équivalents et par suite que θ est bien injective.

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Références

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